1、第一部分专题突破破译命题密码 专题五 立体几何 第 1 课时 空间几何体高考对本部分内容考查主要从以下两种形式进行：(1)三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的视图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图；二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题(2)空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中，以小题形式出现，属低中档题.高考题型突破 题型一 空间几何体的三视图一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度
2、与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”(1)(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()(2)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12C14 D16解析：(1)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧(左)视图为图.(2)观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角
3、边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为 212(24)212.故选 B.答案：(1)B(2)B1.由三视图还原到直观图的三部曲(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状2警示 在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实虚线.变式训练1已知长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为
4、2，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2 的矩形，则该长方体的正视图的面积等于()A1 B 2C2 D2 2解析：依题意得，题中的长方体的侧视图的高等于 2，正视图的长是 2，因此相应的正视图的面积等于 2 22.答案：C2(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3 2B2 3C2 2D2解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为 PD，PD 2222222 3.故选 B.答案：B题型二 空间几何体的表面积与体积空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥
5、体、台体的侧面积公式：S 柱侧ch(c 为底面周长，h 为高)；S 锥侧12ch(c 为底面周长，h为斜高)；S 台侧12(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高)(2)柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥体13Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 台13(S SSS)h(不要求记忆)(3)球的表面积和体积公式：S 球表4R2(R 为球的半径)；V 球43R3(R 为球的半径)(1)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63
6、C42 D36(2)(2016四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析：(1)法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积 V3243261263.故选 B.法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱V 几何体V 圆柱又 V 圆柱321090，45V 几何体90.观察选项可知只有 63 符合故选 B.(2)由正视图知三棱锥的形状如图所示，且 ABADBCC
7、D2，BD2 3，设 O 为 BD 的中点，连接 OA，OC，则 OABD，OCBD，结合正视图可知 AO平面 BCD.又 OC CD2OD21，V 三棱锥 A-BCD13122 31 1 33.答案：(1)B(2)331.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解2警示 对于简单组合体表面积与体积的计算，由于不能准确分析组合体的结构，造成得出错误结论.
8、变式训练1.(2016全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17 B18C20 D28解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图设球的半径为 R，则43R31843R3283，解得 R2.因此它的表面积为784R234R217.答案：A2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 2B112 2C142 2D15解析：直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2(4 2)82 2，两底面的面积和为 2121(12)3，所以该几何体的
9、表面积为 82 23112 2.答案：B3若正三棱锥 A-BCD 中，ABAC，且 BC1，则三棱锥 A-BCD 的高为()A.66B 33C.22D 63解析：设三棱锥 A-BCD 的高为 h.依题意得 AB，AC，AD 两两垂直，且 ABACAD 22 BC 22，BCD 的面积为 34 12 34.由 VA-BCDVB-ACD 得13SBCDh13SACDAB，即13 34 h1312222 22，解得 h 66，即三棱锥 A-BCD的高 h 66，选 A.答案：A题型三 多面体与球的切接与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素
10、间的数量关系，并作出合适的截面图(2017全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC是球 O 的直径若平面 SAC平面 SCB.SAAC，SBBC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_解析：如图，连接 OA，OB.由 SAAC，SBBC，SC 为球 O 的直径，知 OASC，OBSC.由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC，OASC，知 OA平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则OAOBr，SC2r，三棱锥 S-ABC 的体积V1312SCOB OAr33，即r339，r3，S 球表4r236.答案：361.处理球与多面体切接问
11、题的思路(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题；(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置；(3)建立几何量间关系，求半径 r.2警示 内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解这也是解决此类问题的易错点.变式训练1(2017天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_解析：设这个正方体的棱长为 a，由题意可知 6a218，所以 a 3，所以这个正方体的外接球半径 R 32 a32，所以这个正方体外接球的体积 V43R343323
12、92.答案：922在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B92C6 D323解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R32，该球的体积最大，Vmax43R343 278 92.答案：B微专题 数学文化中的立体几何问题(2017郑州市第二次质量预测)刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不
13、易之率也”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 21，这个比率是不变的如图是一个阳马的三视图，则其表面积为()A2 B2 2C3 3D3 2解析：如图所示，根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥D-ABCD(正视的方向是BD)，正方体的棱长为 1，四棱锥 D-ABCD 的表面积 SS 四边形 ABCDSDABSDBCSDDCSDDA1 22 22 12122 2.答案：B 本题源于九章算术，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研
14、究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征.变式训练我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A42B843C8 D82解析：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为 238，半圆柱的体积为12(12)2，因此该不规则几何体的体积为 8，故选 C.答案：C高考专题集训 点击进入WORD链接谢谢观看！
