1、2.2.2 事件的相互独立性目标定位重点难点1.理解两个事件相互独立的定义，并会判定事件的独立性2掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式，并能解决实际问题.重点：独立性的概念及相互独立事件同时发生的乘法公式难点：理解独立性的概念.1相互独立事件的概念(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)_，则称事件A与事件B相互独立(2)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，也称_P(A)P(B)A，B是相互独立事件2判断事件是否相互独立的方法(1)利用定义：事件A，B相互独立_.(2)利 用 性 质：A 与 B 相 互 独 立，则 _，_，_也都相互独立P(AB)P(A)P(B)A 与 BA 与
2、BA 与 B1袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是()A互斥事件B相互独立事件C对立事件D不相互独立事件【答案】D2设 A 与 B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是()AA 与 B B A 与 BC A 与 BDA 与 A【答案】D3（多空题）已知 A，B 是相互独立事件且 P(A)12，P(B)23，则 P(A B)_；P(AB)_.【答案】16 164（多空题）甲、乙两人射击同一目标，甲、乙击中目标的概率分别为 0.6,0.3，两人各射击一次，都击中目标的概率是_，目标被击中的概率为_；恰有一人击中的概率为
3、_【答案】0.18 0.72 0.54【例1】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公式来判定事件相互独立性的判断【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是 P(A)12，P(B)34，P(AB)12.由此，可知 P(AB)/P(A
4、)P(B)所以事件 A，B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩，女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A)6834，P(B)4812，P(AB)38，显然有 P(AB)38P(A)P(B)成立所以事件 A 与 B 相互独立8判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相互
5、独立事件同互斥事件、对立事件区别开1容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？【解析】(1)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率
6、有影响，所以二者不是相互独立事件(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出 1 个，取出的是黄球”的概率没有影响所以二者是相互独立事件【例2】从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A“抽得老K”，B“抽得红牌”，C“抽到J”，判断下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A【解题探究】利用互斥事件、对立事件的概念及独立事件概率公式来判断互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析【解析】(1)由于事件 A 为“抽得老 K”，事件 B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到老 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互
7、斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件，抽到老 K 的概率为 P(A)452 113，抽到红牌的概率为 P(B)265212，故 P(A)P(B)11312 126，事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”，即“抽得红桃老 K 或方块老 K”，故 P(AB)252 126，从而有 P(A)P(B)P(AB)，因此 A 与 B 互为独立事件(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J，抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生，A 与 C 互斥，因为抽不到老 K 不一定就抽到 J，故 A 与 C 不是对立事件(A 与 C 不相互独
8、立)8解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件，若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率2判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；(2)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；(3)甲、乙两名运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；(4)甲、乙两名运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”【解析】(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与
9、否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不是相互独立事件相互独立事件同时发生的概率的计算【例 3】(2020 年广州期末)为了应对 2019 年在全球爆发的新冠肺炎疫情，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有 A，B，C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫
10、苗的概率.【解题探究】先明确已知事件的概率及其关系，再把待求事件的概率表示成已知事件的概率，最后选择公式计算求值.【解析】令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C 相互独立，且 P(A)15，P(B)14，P(C)13.(1)他们都研制出疫苗，即事件 A，B，C 同时发生，故 P(ABC)P(A)P(B)P(C)151413 160.(2)他们都失败即事件A，B，C同时发生，故 P(A B C)P(A)P(B)P(C)(1P(A)(1P(B)(1P(C)115 114 113 25.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件
11、为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 p1P(ABC)12535.8求由几个基本事件组成的一般事件的概率时，一般都要判断各基本事件是否相互独立，然后再利用相互独立事件概率乘法公式求概率，从而使问题变得更加简洁3中秋节放假，甲、乙、丙三人回老家过节的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，求这段时间内至少有 1 人回老家过节的概率【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件 A，B，C，则 P(A)13，P(B)14，P(C)15.P(A)23，P(B)34，P(C)45.由题意知 A，B，C 为相互独立事件，三人都不回老家过节的概率 P(A B C)
12、P(A)P(B)P(C)23344525.至少有一人回老家过节的概率 p12535.未搞清事件关系致错【示例】设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概率和只有 B 发生的概率都是14，求事件 A 和事件 B 同时发生的概率错解：A 与 B 相互独立且只有 A 发生的概率和只有 B 发生的概率都是14，P(A)P(B)14，P(AB)P(A)P(B)1414 116.错因分析：在 A 与 B 中只有 A 发生是指 A 发生和 B 不发生这两个事件同时发生，即事件 A B 发生正解：在相互独立事件 A 和 B 中，只有 A 发生，即事件A B 发生，只有 B 发生，即事件 A B
13、 发生A 和 B 相互独立，A 与 B，A 和 B 也相互独立P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B)14，P(A B)P(A)P(B)1P(A)P(B)14.，得 P(A)P(B)联立可解得 P(A)P(B)12.P(AB)P(A)P(B)121214.警示：搞清事件的关系，利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解1判定相互独立事件的方法(1)由定义，若P(AB)P(A)P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得事件A，B为相互独立事件(2)有些事件根本没有必要通过概率的计算，常常通过对事物本质进行分析就能直接判定出相互独立与
14、否2两个事件独立与互斥的区别相互独立事件是指两个试验中，一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响，而互斥事件是指同一试验中，两个事件不会同时发生3如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A与 B，A与B也都是相互独立1.下列事件中，A，B 是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B.袋中有 2 白，2 黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”D.A“人能活到 20 岁”，B“人能活到 50 岁”【答案】A 【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立
15、的，其结果不受先后影响，故 A 正确；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，A，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件概率，事件 B 受事件 A 的影响.故选 A.2.(2019 年吉安月考)甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为13，14，那么两人中恰有 1 人合格的概率是()A.712B.512C.12D.112【答案】B【解 析】记 甲 合 格 为 事 件 A,乙 合 格 为 事 件 B，则P(A)=13,P(B)=14,P(_A)=23,P(_B)=34，两人中恰有 1 人合格，包括两种情况：甲合格且乙不合格、甲不合格且乙合格，故所求概率为 p=P
16、(A)P(_B)+P(_A)P(B)=1334+2314=512.故选 B.3设两个独立事件 A 和 B 均不发生的概率为19，A 发生 B不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率为()A19 B13C23D12【答案】C【解析】由题意有P AP B19，PA BP AB，即1PA1PB19，PA1PB1PAPB，解得 P(A)23.4(多空题)事件 A，B，C 相互独立，若 P(AB)16，P(BC)18，P(AB C)18，则 P(B)_，P(AB)_.【答案】12 13【解析】联立 PABPAPB16，P BCP BPC18，PAB CPAPBP C18，得 P(C)34，则 P(C)1P(C)14.将 P(C)14代入，得 P(B)12，则 P(B)1P(B)12.由得 P(A)13.所以 P(AB)P(A)P(B)231213.