1、17年高考数学复习点拔：不等式专题18 不等式选讲常见易错题、典型陷阱题精讲1.已知函数f（x），M为不等式f（x）2的解集。（1）求M；（2）证明：当a，bM时，|ab|1ab|.（1）解f（x）当x时，由f（x）2得2x2，2.已知函数f（x）|x1|2|xa|，a0.（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。解（1）当a1时，f（x）1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当10，解得0，解得1x2.所以f（x）1的解集为。（2）由题设可得，f（x）所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶
2、点分别为A，B（2a1,0），C（a，a1），ABC的面积为（a1）2.由题设得（a1）26，故a2.所以a的取值范围为（2，）。.解不等式|x3|2x1|1.解当x3时，原不等式转化为（x3）（12x）1，解得x10，x3.当3x时，原不等式转化为（x3）（12x）1，解得x，3x。当x时，原不等式转化为（x3）（2x1）1，解得x2，x2.综上可知，原不等式的解集为x|x或x2.设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件。.若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x。求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以a
3、bc0.而abc（x22y）（y22z）（z22x）（x22x）（y22y）（z22z）（x1）2（y1）2（z1）23.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1已知函数f（x）|xa|，其中a1.（1）当a2时，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2xa）2f（x）|2的解集为x|1x2，求a的值。解（1）当a2时，（2）记h（x）f（2xa）2f（x），则h（x）由|h（x）|2，解得x。又已知|h（x）|2的解集为x|1x2，所以于是a3已知函数f（x）|x2|x5|.（1）证明：3f（x）3；（2）
4、求不等式f（x）x28x15的解集。（1）证明f（x）|x2|x5|当2a（a0）？f（x）a或f（x）a；（2）|f（x）|0）？ay.求证：2x2y3.（2）已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明（1）因为x0，y0，xy0，2x2y2（xy）（xy）（xy）（1）若a，bR，求证：。（2）已知a，b，c均为正数，ab1，求证：1.证明（1）当|ab|0时，不等式显然成立。当|ab|0时，由0|ab|a|b|?，所以。（2）因为b2a，c2b，a2c，故（abc）2（abc），即abc，Ziyuanku所以1.（1）作差法应该是证明不等式的常用方法。作差法证明不等式的
5、一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论。关键是代数式的变形能力。（2）在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧。【技巧点拔】1.含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2.算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立。定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立。定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立。定理4：（一般形式的算术几何平均不等式）如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立。易错起源、柯西不等式的应用资*源%库例3（2019福建）已知a0，b0，c0，函数f（x）|xa
6、|xb|c的最小值为4.（1）求abc的值；（2）求a2b2c2的最小值。解（1）因为f（x）|xa|xb|c|（xa）（xb）|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立。又a0，b0，所以|ab|ab.即a，b，c时等号成立。故a2b2c2的最小值为。已知定义在R上的函数f（x）|x1|x2|的最小值为a.ziyuanku（1）求a的值；（2）若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明。（2）利用柯西不等式求最值的一般结构为（aaa）（
7、）（111）2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件。【技巧点拔】柯西不等式（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2b2）（c2d2）（acbd）2，当且仅当adbc时等号成立。（2）设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则（aaa）（bbb）（a1b1a2b2anbn）2，当且仅当bi0（i1,2，n）或存在一个数k，使得aikbi（i1,2，n）时，等号成立。Ziyuanku1.如果关于x的不等式|x3|x4|1时，不等式的解集不是空集。即实数a的取值范围是（1，）。2.设x0，y0，若不等式0恒成立，求实数的最小值。解x0，y0，原不等式可化为
8、（）（xy）2。2224，当且仅当xy时等号成立。（）（xy）min4，4，4.即实数的最小值是4.3.若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。解设y|2x1|x2|任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，.4.设不等式|x2|x1|成立，求实数x的取值范围。解由柯西不等式知12（）2（）2a2（b）2（c）2（1abc）2即6（a22b23c2） （a2b3c）2.又a22b23c26，66（a2b3c）2，6a2b3c6，存在实数a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立。|x1|6，70.（1）当a1时，求不等式f（
9、x）3x2的解集；（2）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值。解（1）当a1时，f（x）3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f（x）3x2的解集为x|x3或x1.（2）由f（x）0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x.由题设可得1，故a2.8.已知函数f（x）|2xa|a.（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）|2x1|.当xR时，f（x）g（x）3，求a的取值范围。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨
10、益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。解得a2.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历
11、史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。所以a的取值范围是2，）。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。第 8 页
