1、22最大值、最小值问题授课提示：对应学生用书第32页自主梳理函数的最大值与最小值1函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)2. 最大值或者在_取得，或者在_取得3要想求函数的最大值，应首先求出函数的极大值点，然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中_即为函数的最大值4函数的最小值点也具有类似的意义和求法函数的_和_统称为最值双基自测1函数f(x)2xcos x在(，)上()A是增函数，无最值B是减函数，无最值C有最大值 D有最小值2将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对3用边
2、长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cmC10 cm D12 cm4若函数f(x)在a，b上满足f(x)0，则f(a)是函数的最_值，f(b)是函数的最_值自主梳理2极大值点区间的端点3.最大的值4.最大值最小值双基自测1Af(x)2sin x0，f(x)在(，)上为增函数2B设其中一个数为x，则另一个数为8x，yx3(8x)3,0x8，y3x23(8x)2，令y0，即3x23(8x)20，得x4.当0x4时，y0；当4x8时，y0.所以当x
3、4时，y最小3B设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得Vx(482x)2(0x24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有解x8，故当x8时，V有最大值4小大f(x)0，所以f(x)在a，b上是增加的，f(b)为最大值，f(a)为最小值授课提示：对应学生用书第33页探究一求函数的最值例1求下列函数在给定区间上的最值：(1)f(x)2x33x212x5，x2,3；(2)f(x)sin 2xx，x，解析(1)f(x)6x26x12，令f(x)0，则6x26x120，即x2x20，解得x11，x22.f(1)12，f(2)15，f(2)1，f(3)4，函
4、数f(x)2x33x212x5在x2,3上的最大值为12，最小值为15.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，又x，得x或x.f()，f()，又f()，f()，f(x)max，f(x)min.求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值1设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值解析：f(x)的定义域为(，)(1)f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.所以f(x)在区间(，1)，(
5、，)上是增加的，在区间(1，)上是减少的(2)由(1)知f(x)在区间，上的最小值为f()ln 2.又因为f()f()lnlnln(1ln)0，所以f(x)在区间，上的最大值为f()ln.探究二求含参数的函数的最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解析(1)f(x)3x22ax，因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2
6、上是增加的，从而f(x)maxf(2)84a；当2，即a3时，f(x)在0,2上是减少的，从而f(x)maxf(0)0；当02，即0a3时，f(x)在0，上是减少的，在，2上是增加的，从而f(x)max综上所述，f(x)max含参数时，应分类讨论，应分清讨论的原因，如本题要比较两根在不在区间0,2)内或根之间要分出大小2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解析：(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间
7、是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1上是减少的，在(k1,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上是减少的所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.探究三生活中的优化问题例3某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单
8、价降低2元时，每星期可多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件，24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)令f(x)0，即18(x2)(x12)0，得x12，x212.当x变化时，f(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21
9、f(x)00f(x)9 072极小值极大值0因为f(0)9 072f(12)11 664，所以x12时，f(x)取得最大值；即当定价为301218元时，能使一个星期的商品销售利润最大利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式yf(x)；(2)求函数f(x)的导数f(x)，并解方程f(x)0，即求函数可能的极值点；(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值；(4)根据实际问题的意义给出答案3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6
10、)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析：(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2，3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在
11、区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大导数在解决实际问题中的应用例4(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解析(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L(x3a)(12
12、x)2，x9,11.2分(2)L(12x)(182a3x)，令L0，得x6a或x12(不合题意，舍去)因为3a5，所以86a.在x6a两侧，由左向右L的值由正变负，4分所以当86a9，即3a时，LmaxL(9)9(6a)，当96a，即a5时，LmaxL43.9分Q(a)10分即若3a时，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5时，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)43(万元).12分规范与警示L0的点求解要正确，关键点分类讨论要准确，易错点正确确定函数取得最大值的点，可结合图像单调性求解在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论，解决此类实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结