1、第二节导数的应用(1)一、填空题1. 函数y4x2的单调递增区间为_2. (2011江苏扬州中学期中)函数f(x)xln x的单调减区间为_3. 设函数yf(x)在定义域内可导,导函数yf(x)的图象如图所示,则yf(x)的图象可能是_(填序号)4. 函数f(x)x3ax2bx4在x2处有极值12,则a,b的值_5. (2011杭州学军中学月考)若函数h(x)2x在(1,)上是增函数,则实数k的取值范围是_6. 函数f(x)x3px22m2m1在区间(2,0)内单调递减,且在区间(,2)及(0,)内单调递增,则实数p的取值集合是_7. 如果函数yf(x)的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:
2、函数yf(x)在区间内单调递增;函数yf(x)在区间内单调递减;函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增;当x2时,函数yf(x)有极小值;当x时,函数yf(x)有极大值上述判断中正确的是_8. (2011江苏海安高中、南京外国语、南京金陵中学联考)函数yf(x)g(x)在求导时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x),两边求导数g(x)ln f(x)g(x),于是yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x);运用此方法可以探求得知yx(x0)的增区间为_9. 已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值,若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,则
3、c的取值范围是_二、解答题10. 已知函数f(x)x3ax23x.若f(x)在区间1,)上是增函数,求实数a的取值范围11. (2010江苏南师大附中三、四月高三模拟)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求证:函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点12. (2010江苏南师大附中五月高三模拟)设函数f(x)x4ax32x2b,a,bR.(1)当a时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)仅在x0处有极值,试求a的取值范围13. (2011江苏启东中学高三期中)已知函数f(x)(x2ax)ex(aR)(1)证明:函数f(x)总有
4、两个极值点x1,x2,且|x1x2|2;(2)设函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围参考答案1. 解析:令y8x0,解得x.2. (0,1解析:令f(x)10,解得0x1.3. 解析:在点M左侧,f(x)0,f(x)为减函数,而在点M右侧,f(x)0,f(x)为增函数,所以在y轴左侧,yf(x)为先减后增的函数;同理,也可判断出yf(x)在y轴右侧也是先减后增的函数4. 不存在解析:f(x)3x22axb,由题意即解得当a6,b12时,f(x)0恒成立,故应舍去5. 2,)解析:h(x)2,由h(x)在(1,)上是增函数,知h(x)0在(1,)上恒成立h(x),当k0时,显然h(
5、x)0成立当k0时,由h(x)0k2x2,而2x22,即k2,k2,故2k0.综上,k2.6. 3解析:由已知条件可知,f(x)在x0和x2处分别取得极小值和极大值f(x)3x22pxx(3x2p),3(2)2p0,p3,p的取值集合是37. 解析:由导数图象可知,当x(4,5)时,f(x)0,故当x(4,5)时,f(x)为单调增函数,故正确8. (0,e解析:由以上法则可知yxxx(1ln x),当x0时,x0,由1ln x0,可得0xe.即函数yx(x0)的增区间为(0,e9. (,1)(2,)解析:f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb,由fab0,f(1)32ab0得a,b2
6、,所以f(x)x3x22xc,x1,2,f(x)3x2x2(3x2)(x1),函数f(x)的单调区间如表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值当x时,fc为极大值,f(2)2c,则f(2)2c为最大值,要使f(x)c2在x1,2上恒成立,则只需要c2f(2)2c,解得c1或c2.10. f(x)3x22ax3.f(x)在1,)上是增函数,f(x)在1,)上恒有f(x)0,即3x22ax30在1,)上恒成立,则必有,令g(x),g(x)0恒成立,g(x)为增函数,当x1时,g(x)取最小值0,0,即a0.11. (1)f(x)ex4x3,则f(1)e1,又f(1)e1,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为ye1(e1)(x1),即(e1)xy20.(2)证明:f(0)e0320,f(1)e10,f(0)f(1)0,令h(x)f(x)ex4x3,则h(x)ex40,f(x)在0,1上单调递增,f(x)在0,1上存在唯一零点,f(x)在0,1上存在唯一的极值点