1、21312yxyxyxyxyx了解幂函数的概念，结合函数 ，的图象，了解它们的变化情况及基本性质11232_1_.xyxyxyxyxyx一般地，型如的函数叫幂函数，其中 是自变量，是常数，常见的幂函幂函数的定义数有，2幂函数的图象和性质综合得，若_，yx 在(0，)上是增函数；若_，yx 在(0，)上是减函数 (0)1,101_2_31031yx所有的幂函数在，上都有定义，且图象都过点当 为奇数时，幂函数为奇函数；当 为偶数时，幂函数为偶函数一般的，当时，幂函数 有下列性质：图象都通幂函过点；在第一象限内，函数值；在第一象限内，当时数的性质推广，图象是向下凸的；当时，图象是向上凸的；41,10
2、1_2_3yxyx 在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展当时，幂函数 有下列性质：图象都通过点；在第一象限内，函数值；在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近 000,01,11,1yxxx；，；【要点指南随 的增大而增大；随 的增】大而减小 1.给出下列函数：y1x3；y3x2；yx4x2；y3 x2.其中是幂函数的有()A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】根据幂函数的定义进行判断在所给函数中，只有 y1x3x3 和 y3 x2x23符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数，故选 B.2.若幂函数 f(x)的图象经过点(3，19)，则其定义域是()Ax|
3、xR，x0Bx|xR，x0m2或m1m35，所以 m1.5.下列说法中，正确的是()A幂函数的图象恒过定点(0,0)和(1,1)B幂函数的图象不可能过第四象限C函数 y3x 是幂函数D函数 y x不是幂函数 【解析】幂函数 y1x的图象不过点(0,0)，所以 A 不正确；y3x 不是幂函数，y x是幂函数，所以 C、D 不正确 一 幂函数的定义及应用【例 1】已知函数 f(x)(m22m)xm2m1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数【解析】(1)若 f(x)是正比例函数，则m2m11m22m0，解得 m1.所以当 m1 时，f(x)为正比例函数(2)若
4、 f(x)是反比例函数，则m2m11m22m0，解得 m1.所以当 m1 时，f(x)为反比例函数(3)若 f(x)是幂函数，则 m22m1，解得 m1 2.所以当 m1 2时，f(x)为幂函数【点评】注意各类函数的定义在正比例函数、反比例函数、二次函数中，指数分别为 1，1,2，其余系数不为 0，而幂函数定义中注意系数必为 1 的条件已知函数 f(x)(m2m1)xm22m1.(1)若 f(x)是反比例函数，则 m 0 或 2；(2)若 f(x)是幂函数，则 m 1 或 2.素材1【解析】(1)若 f(x)是反比例函数，则m22m11m2m10m0 或 2.(2)若 f(x)是幂函数，则 m
5、2m11m2 或 m1.二 幂函数的图象及应用【例 2】已知幂函数 yf(x)的图象经过点(2，2)(1)求函数 f(x)的解析式，并写出 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的单调性，并证明你的结论【解析】(1)依题意设 yx，因为函数 yf(x)的图象经过点(2，2)，所以 22，所以 12，所以 f(x)x12，由 f(x)x12 x可知 f(x)的定义域为0，)(2)函数 f(x)在0，)上是增函数证明：任取 x1，x20，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 x2 x1x2x1 x2，因为 x1x20，所以 f(x1)f(x2)，所以
6、函数 f(x)x在0，)上是增函数【点评】什么是幂函数？这一概念如果记忆不牢，本题将无法下手；另外“根号减根号，分子有理化”这一口诀对解决本例第(2)问非常有效 函数 yxa，yxb，yxc 的图象如图所示，则实数 a，b，c 的大小关系是()AcbaBabcCbca Dca1,0b1，c0，所以 cb0，解得1k3.因为 kZ，所以 k0,1,2.由 f(x)是偶函数知，k1，所以 f(x)x2.(2)若 f(x)在(0，)上是减函数，则32k12k20，解得 k3.又 kZ，所以 k 的取值集合为kZ|k3【点评】解决与幂函数的性质有关问题，关键是抓住其图象特征，将其转化为代数语言(1)比
7、较下列各组数的大小：30.8 30.7；0.213 0.233；4.125 30.7.考察 yx3 为增函数，所以 0.2130.233.考察函数 yx25在(0，)上为减函数，所以 4.1253.825.(2)因为 f(x)在(0，)上递减，所以12(m4)0，所以 m4.又 mN，所以 m0,1,2,3.又 f(x)是偶函数，所以 m0，故 f(x)x2.备选例题已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)m3(32a)m3的 a 的取值范围【解析】因为函数在(0，)上递减，所以 m22m30，解得1m3.因为 mN*，所以 m1
8、,2.又函数的图象关于 y 轴对称，所以 m22m3 是偶数，而 222233 为奇数，121234 为偶数，所以 m1，因为 f(x)x13在(，0)，(0，)上均为减函数，所以(a1)1332a0 或 32aa10 或 a1032a，解之得 a1 或23a32，故 a 的范围为a|a1 或23a321()()2 Ryx幂函数是指型如，且为常数 的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数由于其解析式中只有一个参数 幂指数，因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式对幂函数的学习要求不高，只要求对几个简单幂函数的图象与性质有所了解即可掌握幂函数的图象特点是研究幂函数性质的基础，而其主要性质就是单调性和奇偶性