1、2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文） （考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1方程组的增广矩阵是_.【答案】【解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为。2. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_.【答案】【解析】设幂函数为，则由得，即，所以，所以。3（文）若，则_.【答案】【解析】因为，所以。4若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是 .【答案】8【解析】抛物线的焦点坐标为，在双曲线中，所以，所以，即双曲线
2、的右焦点为，所以。5函数的部分图像如右图所示，则 _.【答案】 【解析】由图象可知,即周期,由得，所以，有得，即，所以，所以，因为，所以，所以。6（文）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角的大小为_. (结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】因为是直线的一个方向向量，即直线的斜率，所以，所以，即直线的倾斜角为。7（文）不等式的解为 .【答案】【解析】由行列式的定义可知不等式为，整理得，解得，或（舍去），所以。8高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)【答案】【解析】3人中有1个是女生
3、的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。9如图所示的程序框图，输出的结果是_.【答案】1【解析】由程序框图可知，所以 。10（文）数列的通项公式，前项和为，则=_.【答案】【解析】因为，所以，所以。11.（文）边长为1的正方形中，为的中点，在线段上运动，则的取值范围是_.【答案】【解析】将正方形放入直角坐标系中，则设,.则,所以,所以，因为，所以，即的取值范围是。12（文）函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】由得，即，解得或。即，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不
4、同的交点，则有，即实数的取值范围是。13（文）若平面向量满足 且,则的最大值为 .【答案】【解析】因为，所以，所以，设，因为，所以，因为，所以当时，有最大值，所以的最大值为。14已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数点标(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_. 【答案】5【解析】记标有1为第1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，标有10的是1+2+3+10=55号所以5
5、5除以20的余数为15，此时点数到了5，,此时数为5。二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15下列排列数中，等于的是 （ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】根据排列公式可知,选C.16在中，“”是“”的 （ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得，即，所以或，即，或，即，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.17若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是 （ ）(A) (B) (C) (D
6、) 【答案】A【解析】函数的导数为，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即恒成立，所以，选A.18（文）对于直角坐标平面内的点（不是原点），的“对偶点”是指：满足且在射线上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形 （ ） (A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆【答案】A【解析】因为,所以为定值，所以B的轨迹时以半径为的圆，所以选A.三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 已知集合，实数使得集合满足，求的取值范围.20(本题满分14分) 本题共有2
7、个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数=. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)求的反函数，并求使得函数有零点的实数的取值范围. 21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1) 当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2) 假定该汽车能顺利
8、通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值. (精确到1cm).22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（文）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .(1)求椭圆的方程；(2)若，求的面积；(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来
9、数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1) 若成等比数列,求的值；(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？参考答案一、 填空题：（每题4分）1. 2. 3.（文） 4. 8 5. 2sin 6.（文） arctan2 7.文）x0 8. 9. 1 10.（文）11. （文） 12.文）0m2-2 13. （文） 14.（文）5二、 选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18.文）A三、 解答题19. 解：A=(3,4).2分 a5时，B=，满足AB；.6分 a5时，B=，由AB，得a4，故4a ,从而原命题为假命题. .18分13