1、剖析与圆有关的计算圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。因此要善于发现和构造相似三角形。常见的
2、相似三角形模型有：例题 （南充）如图，已知AB是O的直径，BP是O的弦，弦CDAB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EPEG，（1）求证：直线EP为O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2BFBO。试证明BGPG；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为3，sinB。求弦CD的长。解析：（1）连结OP，先由EPEG，证出EPGBGF，再由BFGBGFOBP90，推出EPGOPB90来求证。（2）连结OG，由BG2BFBO，得出BFGBGO，得出BGOBFG90，根据垂线定理可得出结论。（3）连结AC、BC、OG，由sinB，求出OG，由（2）得出BOGF，求出OF
3、，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。解答：（1）证明：连结OP，EPEG，EPGEGP，又EGPBGF，EPGBGF，OPOB，OPBOBP，CDAB，BFGBGFOBP90，EPGOPB90，直线EP为O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，BG2BFBO，BFGBGO，BGOBFG90，由垂线定理知：BGPG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，sinB，OBr3，OG，由（2）得EPGOPB90，BBGFOGFBGF90，BOGF，sinOGFOF1，BFBOOF312，FAOFOA134，在RtBCA中，CF2BFFA，CF。CD2CF。
4、点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。【解题技巧】1. 充分利用直径，构建直角三角形，利用勾股定理，建立方程。2. 已知条件中的三角函数值，要转化为直角三角形中对应边的比例关系。3. 善于利用相似三角形对应边成比例解决问题。例题 （北京）如图，AB是O的直径，PA，PC分别与O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E。（1）求证：EPDEDO；（2）若PC6，tanPDA，求OE的长。解析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：EPDEDO；（2）连接OC，利用，可求出CD4，再证明OEDD
5、EP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。答案：（1）证明：PA，PC与O分别相切于点A，CPAPC，APOEPDAB是O的直径PAABDEPOAE90POADOEAPOEDOEPOEDO（2）解：连结OC，则OCPD在RtPAD中，A90，PAPC6，tanPDA可得AD8，PD10CD4在RtOCD中，OCD90，CD4，tanODC可得OC3，OD5在RtPCO中，由勾股定理得PO可证RtDEORtPCO，即OE点拨：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力。（
6、答题时间：30分钟）一、选择题1. （张家港市二模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，0），O与x轴的负半轴交于B（2，0）。点P是O上的一个动点，PA的中点为Q。当点Q也落在O上时，cosOQB的值等于（）A. B. C. D. 2. （梧州一模）如图，过等腰ABC三边的中点D、F、G作O，并与两腰AB、AC分别相交于点H、E，若B72，则BDH（）A. 32B. 34 C. 36 D. 723. 已知在ABC中，BAC90，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AMAN。ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，则（）A. 1B
7、. 0.5C. 2D. 1.5*4. 一张半径为2的半圆图纸，沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（）A. 3B. C. D. *5.（北塘区二模）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90。点B是弧MN上一动点，BAOM于点A，BCON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q。当四边形EPGQ是矩形时，OA的长为（）A. B. C. D. 二、填空题6. （甘孜州）如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线yx相切。若半圆O1的半径为1，则半圆O2的
8、半径R。7.（相城区模拟）如图，直线l与圆O相交于A，B两点，与y轴交于点P。若点A的坐标为（1，3），PB3PA，则直线l的解析式为。8.（西湖区一模）如图，已知ABC，ACBC，C90。O是AB的中点，O与AC，BC分别相切于点D与点E。点F是O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G。则CDG，若AB，则BG。9.（上城区二模）如图，O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，OEAB交O于点E，PEOD，延长直径AG，交PE于点H，直线DG交OE于点F，交PE于K。若EF2，FO1，则KH的长度等于。三、解答题10. （遵义）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，且
9、ABC60，ABBC，ACD的外接圆O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB的延长线于F。（1）求证：CFDB；（2）当AD时，试求E点到CF的距离。*11. （襄阳）如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCBPC60，过点A作O的切线交BP的延长线于点D。（1）求证：ADPBDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD2，PD1，求线段BC的长。*12. （荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点F，切点为E。（1）求证：OFBE；（
10、2）设BPx，AFy，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使EFOEHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由。一、选择题1. C 解析：当点P运动到恰好点Q落在O上，连接QO并延长交O于点C，连接QB，OP，BC，则CBQ90（直径所对的圆周角是直角）B、Q分别是OA、AP的中点，BQOP，点A坐标为（4，0），O与x轴的负半轴交于B（2，0）。OPOBBAOA2，QB1在RtCQB中，CBQ90cosOQB。2. C 解：如图，连接AD、G
11、D，ABAC，点D是BC的中点，ADBC，B72，BAD90B907218，G是AB的中点，DGAG，BADADG，BGDBADADG181836，G、F分别是AB、AC的中点，GF是ABC的中位线，AD垂直平分GF，AD经过圆心O，BDHBGD36。3. A 解：取ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，则OEAB，OFAC，OEOF，BAC90，四边形AEOF是正方形，AEAF，AEFAFE，BAC90，M为斜边BC上中线，AMCMBM，MACMCA，BAC90，ANAM，BACMAGMAN90，GAEEAM90，EAMMAC90，MACCAN90，GAEMACMCA
12、，EAMCAP，GAEAPEAEP，MCAQCFQ，AEFAFECFQ，EPANPQ，QNPQ，PNQN，14. C 解：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，与弧的交点分别为A、G，过切点F作PF半径OE交OP于P点，如图，OPBC，BDDC，即OP为BC的中垂线，OP必过弧BGC所在圆的圆心，又OE为弧BGC所在圆的切线，PFOE，PF必过弧BGC所在圆的圆心，点P为弧BGC所在圆的圆心，弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，P的半径等于O的半径，即PFPGOE2，并且ADGD，OGAP，而F点分O的直径为3：1两部分，OF1，在RtOPF中，设OGx，则OPx2，OP2OF2PF2，即（x2）21
13、222，解得x2，AG2（2）4，DG2，ODOGDG22，在RtOBD中，BD2OB2OD2，即BD222（）2，BD，BC2BD。5. A 解：如图，连结OB。四边形EPGQ是矩形。AEDCEB90。又DAEEBC90，AEDBCE。AEDBCE，设OAx，ABy，则：x，得y22x2，又OA2AB2OB2，即x2y212。x22x21，解得：x。即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为。二、填空题6. 32解析：作O1A直线yx于A，作O2B直线yx于B，O1CO2B于C，如图，则O1C直线yx，CO1O2AOO1，直线yx平分xOy，AOO145，CO1O245，CO1O2为等腰直角三
14、角形，O1和O2与直线yx相切，O1A1，O2BR，BC1，O2CR1，而O1和O2外切，O1O2R1，O1O2O2C，即R1（R1），R32。7. yx2 解析：过A作ADx轴于D，BEy轴于E，AD与BE相交于C，连结OA、OB，如图，A点坐标为（1，3），OD1，AD3，EC1，ACPE，PA：PBCE：BE，而PB3PA，BE3CE3，在RtOAD中，OA，OBOA，在RtOBE中，OEB点坐标为（3，1），设直线AB的解析式为ykxb，把A（1，3）和B（3，1）代入得，解得，直线l的解析式为yx2。8. 67.5，2 解析：连接OD。CD切O于点D，ODA90，DOA45，ODOF
15、，ODFOFDDOA22.5，CDGCDOODF9022.567.5。AC为圆O的切线，ODAC，又O为AB的中点，AOBOAB2，圆的半径DOFOAOsinA22，BFOBOF22。GCAC，ODAC，ODCG，ODFG，又OFDBFG，ODFBGF，即，BG22。9. 2 解析：EF2，OF1，EODO3，PEOD，KEODOE，KODG，OFDEFK，EF：OFKE：OD2：1KE6，ACBC，AB不是直径，ODAB，PCO90，PEOD，P90，EOAB，PEO90，OGOD，OGDODG，PEOD，KODG，OGDHGK，KHGK，HKHG，设KHHGx，则HE6x，HO3x，EO3
16、，则EO2HE2HO2，即32（6x）2（3x）2，解得：x2，故KH的长度等于2。三、解答题10.（1）证明：连结AE，如图，ABC60，ABBC，ABC为等边三角形，ABCD，DAB90，ADCDAB90，AC为O的直径，AEC90，即AEBC，BECE，CDBF，DCEFBE，在DCE和FBE中，DCEFBE（ASA），DEFE，四边形BDCF为平行四边形，CFDB；（2）解：作EHCF于H，如图，ABC为等边三角形，BAC60，DAC30，在RtADC中，AD，DC1AC2CD2，ABAC2，BFCD1，AF3，在RtABD中，BD，在RtADF中，DF2，CFBD，EFDF，AEBC
17、，CAEBAE30，EDCCAE30，而DCABAC60，DPC90，在RtDPC中，DC1，CDP30，PCDC，HFEPFC，RtFHERtFPC，即，EH，即E点到CF的距离为。11. （1）证明：作O的直径AE，连接PE，AE是O的直径，AD是O的切线，DAEAPE90，PADPAEPAEE90，PADE，PBAE，PADPBA，PADPBA，ADPBDA，ADPBDA；（2）PAPBPC，证明：在线段PC上截取PFPB，连接BF，PFPB，BPC60，PBF是等边三角形，PBBF，BFP60，BFC180PFB120，BPAAPCBPC120，BPABFC，在BPA和BFC中，BPA
18、BFC（AAS），PAFC，PAPBPFFCPC；（3）解：ADPBDA，AD2，PD1，BD4，AB2AP，BPBDDP3，APD180BPA60，APDAPC，PADE，PCAE，PADPCA，ADPCAP，AP2CPPD，AP2（3AP）1，解得：AP或AP（舍去），BCAB2AP1。12. （1）证明：连接OEFE、FA是O的两条切线FAOFEO90在RtOAF和RtOEF中，RtFAORtFEO（HL），AOFEOFAOE，AOFABE，OFBE（2）解：过F作FQBC于QPQBPBQxyPFEFEPFABPxy在RtPFQ中FQ2QP2PF222（xy）2（xy）2化简得：（1x2）（3）解：存在这样的P点，理由：EOFAOF，EHGEOA2EOF，当EFOEHG2EOF时，即EOF30时，RtEFORtEHG，此时RtAFO中，yAFOAtan30，当时，EFOEHG。18