1、第四章 对数运算与对数函数第四章 单元测试卷第部分 选择题(共40分)一、选择题(5分8=40分)1.%0￥8￥34#%(2020广州二中高一期中)下列函数中,既是奇函数,又在定义域上是增函数的是()。A.y=exB.y=ln xC.y=ex-1exD.y=ex+1ex答案：C解析： y=ex,y=ln x,y=ex+1ex不是定义域上的奇函数,而y=ex-1ex是定义域上的奇函数,且在(-,+)上,y1=ex,y2=-1ex是增函数,所以y=ex-1ex是(-,+)上的增函数。故选C。2.%5523%(2020北京检测)如果log12xlog12y0,那么()。A.yx1B.xy1C.1xy
2、D.1yx答案：D解析：对数函数y=log12x在(0,+)上单调递减,则由log12xlog12y0=log121,可得1yx。故选D。3.%￥*#8046#%(2020南充一中高一月考)已知函数f(x)=2log12x的值域为-1,1,则函数f(x)的定义域是()。A.22,2B.-1,1C.12,2D.-,222,+)答案：A解析：由已知得-12log12 x12,1212x12-12,即22x2。故选A。4.%*574#6%(2020黄冈中学月考)已知函数f(x)=12x,则函数f(x+1)的反函数的图像可能是()。图4-8答案：D解析：函数f(x)=12x的图像恒过点(0,1),则函
3、数f(x+1)的图像恒过点(-1,1),则其反函数的图像恒过点(1,-1)。而选项A,B,C中的图像明显不过点(1,-1),故排除。所以正确选项为D。故选D。5.%3￥*8#31%(2020合肥一中月考)已知f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x2是R上的减函数,则实数a的取值范围是()。A.(-,2)B.-,138C.(0,2)D.138,2答案：B解析：由题意得,函数f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x2是R上的减函数,则a-20,122-1(a-2)2,解得a138,故选B。6.%055#1#*%(2020九江一中月考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实
4、数)为偶函数。记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()。A.abcB.cabC.acbD.cba答案：B解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函数,得m=0,则f(x)=2|x|-1。当x0,+)时,f(x)=2x-1单调递增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0log23log25,则f(0)f(log23)f(log25),即cab。故选B。7.%0763￥%(2020黄石二中月考)当0x12时,4xlogax,则a的取值范围是()。A.0,22B.22,1C.(1,2)D.(2,2
5、)答案：B解析：当0x12时,14x2。要使4xlogax,则由对数函数的性质可得0a1。数形结合可知只需2logax,所以0a1,logaa2logax,即0ax,对0x12恒成立,所以0a12,解得22a1,故选B。8.%#6￥239%(2020芜湖中学检测)已知函数f(x)=|lg x|。若0aa0,则lg a0,即a0,即b1,所以0a1g(1)=1+21=3,即a+2b的取值范围是(3,+)。故选C。第部分 非选择题(共60分)二、填空题(5分3=15分)9.%￥69#3#0%(2020乐山一中检测)已知125x=12.5y=1 000,则y-xxy=。答案：13解析：因为 125x
6、=12.5y=1 000,所以x=log1251 000,y=log12.51 000,y-xxy=1x-1y=log1 000125-log1 00012.5=log1 00012512.5 =log1 00010=13。10.%￥4￥*038%(2020衡水中学高一月考)已知奇函数y=f(x)(xR且x0),当x0时,f(x)=-x2+2x+2,则f(x)的单调增区间为。答案：-1,0),(0,1解析：若x0,当x0时,f(x)=-x2+2x+2,所以当-x0时,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+2=-x2-2x+2。因为函数f(x)是定义域上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x
7、2-2x+2,所以f(x)=x2+2x-2,x0时,f(x)=-x2+2x+2,此时函数的递增区间为(0,1,当x0且a1)在(0,1)上是减函数,则a的取值范围是(1,2;在同一坐标系中,函数y=log2x与y=log12x的图像关于y轴对称;在同一坐标系中,函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称。其中正确结论的序号是。答案：解析：应是最小值为12,应关于x轴对称。三、解答题(共45分)12.(10分)%7#￥532%(2020黄石二中月考)计算:(1)12-1-350+94-0.5+4(2-e)4;答案：解:原式=2+1-1+23+e-2=23+e。(2)lg 500+lg8
8、5-12lg 64+50(lg 2+lg 5)2。答案：原式=lg 5+lg102+lg 23-lg 5-12lg 26+50(lg 10)2=lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52。13.(10分)%212#4*%(2020大冶一中检测)已知函数f(x)=log12(x2-2ax+3)。(1)若函数的定义域为(-,1)(3,+),求实数a的值;答案：解:由题意,知x2-2ax+30的解集为(-,1)(3,+),故a=2。(2)若函数的值域为(-,-1,求实数a的值。答案：若函数的值域为(-,-1,即f(x)=log12(x2-2ax+3)-1,且-1能取到,故x2-2ax
9、+32。故a2-1=0,即a=1或a=-1。14.(12分)%4327￥*￥%(2020启东高级中学月考)已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数。(1)求a,b的值;答案：解:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,b=1。又f(-1)=-f(1),得a=1。经检验a=1,b=1符合题意。(2)证明f(x)在(-,+)上为减函数;答案：证明:任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-2x12x1+1-1-2x22x2+1=(1-2x1)(2x2+1)-(1-2x2)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x2-2x1)(2x1+1)(2x2+1
10、)。因为x10。又(2x1+1)(2x2+1)0,所以f(x1)f(x2)。所以f(x)为R上的减函数。(3)若对于任意tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围。答案：解:因为tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,所以f(t2-2t)-f(2t2-k)。因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即k3t2-2t恒成立。而3t2-2t=3t-132-13-13,所以k1,所以f(x)=log2(2x+1)0,所以函数f(x)的值域为(0,+)。(2)若关于x的方程f(x)=x+m,x0,1有实根,求实数m的取值范围。答案：方程有实根,即m=f(x)-x有实根,构造函数h(x)=f(x)-x=log2(2x+1)-x,则h(x)=log2(2x+1)-log22x=log22x+12x=log2(2-x+1),因为函数y=2-x+1在R上单调递减,而y=log2x在(0,+)上单调递增,所以复合函数h(x)=log2(2-x+1)是R上的单调递减函数。所以h(x)在0,1上的最小值为h(1)=log2(2-1+1)=log23-1,最大值为h(0)=log2(20+1)=1,即h(x)log23-1,1,所以当mlog23-1,1时,方程有实根。