1、第二章单元质量评估(一)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1以下命题中，不正确的个数为(C)“|a|b|ab|”是“a，b共线”的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使得ab；若ab0，bc0，则ac；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D5解析：中为充分不必要条件；中b0；显然不成立，只有命题正确2已知向量a，b是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ca0，且cb0”是“l”的(B)A充分不必要条件 B必要不
2、充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若l平面，则ca，ca0，cb，cb0；反之，若ab，则ca，cb，并不能保证l平面.3已知A(1,2，1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于(B)A(0,4,2) B(0，4，2) C(0,4,0) D(2,0，2)解析：B(1,2,1)，C(1，2，1)，(0，4，2)4.如图，在四面体ABCD中，已知b，a，c，则(A)Aabc Babc Cabc D.abc解析：()abc，故选A.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与的夹角为(C)A30 B45 C60 D90解析：(0,3,3)，(1
3、,1,0)，|3，|，3，cos，.，60.6设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是(B)A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定解析：在BCD中，()()20，B为锐角，同理，C，D均为锐角，BCD为锐角三角形7空间四边形ABCD中，每条边长及两对角线长都是a，E、F分别是AD、AC的中点，则等于(A)A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析：设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbccaa2，而(cb)，bc，(cb)(bc)(bc|c|2|b|2bc)(a2a2a2a2)a2.8如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是A
4、D上一点，当BFPE时，AFFD的值为(B)A.12 B11C31 D21解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，BFPE，0，解得y，即点F的坐标为，F为AD的中点，AFFD11，故选B.9有4个命题：若pxayb，则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面； 若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是(B)A1 B2 C3 D4解析：需添加条件a，b不共线；需添加M，A，B不共线10在正三棱柱ABCA1B1C1中，若|AB|2，|AA1|
5、1，则点A到平面A1BC的距离为(B)A. B. C. D.解析：(方法1)以A为原点，AC，AA1分别为y轴、z轴建立坐标系Axyz.则A1(0,0,1)，C(0,2,0)，B(，1,0)设平面A1BC的法向量n(x，y，z)由得令x1，则n(1，2)设A到平面A1BC的距离为d，则d.(方法2)由|AA1|1，|AB|AC|2，知|A1B|A1C|，又|BC|2，过A1作A1DBC于D，|A1D|2，SA1BC222.设A到平面A1BC的距离为h，由VAA1BCVA1ABC，h214，得h.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为(C)A30 B60 C120 D
6、150解析：如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayax0，a0，y0，xz，令z1，则n(1,0,1)，同理可得平面B1BD1的一个法向量为m(1，1,0)cosn，m，而二面角ABD1B1为钝角，故为120.12.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，
7、P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在直线B1P上，则下列结论正确的是(D)A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直解析：以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的
8、一个法向量为n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2,1，2)与(1，12，)共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直，故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13若a(1,1,0)，b(1,0,2)，则与ab同方向的单位向量是.解析：ab(0,1,2)，|ab|，与ab同方向的单位向量是，即14已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为.解析：设M(x
9、，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意得x，y，z1，点M的坐标为.15.如图，已知在60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，则CD.解析：ACl，BDl，l为60的二面角，60.，2222222.5212242|cos，220212cos12022.|.16在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是a.解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，D(0,0,0)设n(x，y，z)为平面MBD的法向量，则而，令y
10、1，则n(1,1,2).(a,0，a)，则A1到平面MBD的距离d.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求a和b的夹角的余弦值；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解：(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cos，所以a与b的夹角的余弦值为.(2)因为kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k，k,0)(2,0,4)(k2，k，4)，所以(k1，k,2)(k2，k，
11、4)(k1)(k2)k280.即2k2k100，所以k或k2.18.(本小题12分)在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点证明：EF平面SAD.证明：如图，建立空间直角坐标系设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，.取SD的中点G，则(a,0，)，EFAG，AG平面SAD，EF平面SAD.EF平面SAD.19(本小题12分)四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，SBA45，SBC60，M为AB的中点，求SC与平面ABC所成角的正弦值解：建立如图所示的以S为原点，以SA，SB，SC为x轴，y
12、轴，z轴的空间直角坐标系由已知设|a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)，S(0,0,0)，M(，0).(0,0，a)，(a,0，a)，(a，a,0)，设平面ABC的法向量n(x，y，z)，令z1，n(，1)，cos，n，即SC与平面ABC夹角的正弦值为.20(本小题12分)如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图(2)(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解：(1)证明：在题图(1)中，因为ABBC1
13、，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在题图(2)中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，从而BE平面A1OC.又BC綊DE，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为.则得取n1(1
14、,1,1)；又得取n2(0,1,1)从而cos|cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.21.(本小题12分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD的夹角的大小；(3)求点B到平面OCD的距离解：作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.(1)证明：，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0
15、，即取z，解得n(0,4，)n(0,4，)0，MN平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为.(1,0,0)，cos.AB与MD的夹角为.(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量n(0,4，)上的投影的绝对值由(1,0，2)，得d，点B到平面OCD的距离为.22(本小题12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐
16、标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)则n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，使得DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos.二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即.解得a2，即AB的长为2.
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