1、第一章数列1数列的概念及其函数特性1.2数列的函数特性、递推公式课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列说法不正确的是()A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项可以相等D.数列可分为递增数列、递减数列、常数列三类答案D2.数列an中,a2=1,an+an+1=2n,nN+,则a1+a3的值为()A.4B.5C.6D.8答案A解析由a2=1,an+an+1=2n,nN+,可得a1+a2=2,a2+a3=4,解得a1=1,a3=3,a1+a3=4.3.在数列an中,a1=2,an=an+1-3,则14是an的第项.答案5解析a1=2,a2=a1+3=5,a3=a2+3=8,a4
2、=a3+3=11,a5=a4+3=14.4.已知数列an中,a1a2an=n2(nN+),则a9=.答案8164解析a1a2a8=82,a1a2a9=92,得a9=9282=8164.5.已知数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,则a的取值范围为.答案(-2,1)解析数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,2a-1a-3,a-33a-5,解得-2a1.6.在数列an中,an=n(n-8)-20,nN+,请回答下列问题:(1)这个数列共有几项为负?(2)这个数列从第几项开始递增?(3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.解(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)
3、(n-10),所以当0n10,nN+时,an0时,n72,故数列an从第4项开始递增.(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即这个数列有最小值,最小值为-36.7.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=0,an+1=an+2n-1(nN+);(2)a1=1,an+1=an+ann+1(nN+);(3)a1=-1,an+1=an+1n(n+1)(nN+).解(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想an=(n-1)2(nN+).(2)a1=1,a2=32,a3=2,a4=52.猜想an=n
4、+12(nN+).(3)a1=-1,a2=-12,a3=-13,a4=-14.猜想an=-1n(nN+).关键能力提升练8.已知an=n2-21n2,则数列an中相等的连续两项是()A.第9项,第10项B.第10项,第11项C.第11项,第12项D.第12项,第13项答案B解析假设an=an+1,则有n2-21n2=(n+1)2-21(n+1)2,解得n=10,所以相等的连续两项是第10项和第11项.9.已知数列an满足a1=a,an+1=an2-2an+1(nN+).若数列an是常数列,则a=()A.-2B.-1C.0D.(-1)n答案A解析数列an满足a1=a,an+1=an2-2an+1
5、(nN+),a2=a2-2a+1.数列an是常数列,a=a2-2a+1,解得a=-2.故选A.10.已知数列xn满足x1=a,x2=b,xn+1=xn-xn-1(n2),则下列结论不正确的是()A.x2 020=aB.x2 022=a-bC.x11=x2 021D.x1+x2+x2 020=2b-a答案A解析x1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6=x5-x4=a-b,x7=x6-x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,xn是周期数列,周期为6,x2020=x4=-a,A不正确;x2022=x6=a-b,B正确;x2021=x5=x
6、11,C正确;x1+x2+x2020=x1+x2+x3+x4=2b-a,D正确.11.(多选题)数列an的通项公式为an=n+an,则下列说法正确的是()A.当a=2时,数列an的最小值是a1=a2=3B.当a=-1时,数列an的最小值是a1=0C.当0a4时,a不是数列an中的项D.当a2时,an为递增数列答案ABCD解析当a=2时,an=n+2n,由f(x)=x+2x的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;当a=-1时,an=n-1n,数列an显然是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;令an=n+an=a,得n2-na+a=0,当0a4时,=a2-4aan,即n+1+an+1n+an,
7、得an2+n,又n2+n2,所以a0,是递增数列,符合题意,对于C,an=1-2n,an-an-1=(1-2n)-1-2(n-1)=-2,不是递增数列,不符合题意,对于D,an=2n+1,函数y=2x+1为递增函数,则an=2n+1是递增数列,符合题意,故选BD.13.由1,3,5,2n-1,构成数列an,数列bn满足b1=2,当n2时,bn=abn-1,则b6的值是()A.9B.17C.33D.65答案C解析an=2n-1,bn=abn-1=2bn-1-1.又b1=2,b2=3,b3=5,b4=9,b5=17,b6=33.14.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则an等于
8、()A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n答案A解析an+1-an=lnn+1n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=lnnn-1+lnn-1n-2+ln32+ln2+2=lnnn-1n-1n-2322+2=2+lnn.15.已知在数列an中,an+1=2anan+2对任意正自然数n都成立,且a7=12,则a5=.答案1解析由已知a7=2a6a6+2=12,解得a6=23.又因为a6=2a5a5+2=23,解得a5=1.16.数列4n-73n中的最大项为.答案527解析设an=4n-73n,则an+1
9、-an=4(n+1)-73n+1-4n-73n=18-8n3n+1,当n3时,an+1an,当nan,数列4n-73n中的最大项为a3=43-733=527.17.设an=-n2+10n+11,则数列an中第项的值最大.答案5解析根据题意,an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,当n=5时,an取得最大值.18.已知各项不为0的数列an满足a1=12,anan-1=an-1-an(n2,nN+),求数列an的通项公式.解anan-1=an-1-an,且各项均不为0,1an-1an-1=1.当n2时,1an=1a1+1a2-1a1+1a3-1a2+1an-1an-1=2+1(n-1)=
10、n+1.1an=n+1,当n2时,an=1n+1.当n=1时,a1=11+1=12,即a1=12也符合an=1n+1,an=1n+1(nN+).学科素养创新练19.在一个数列中,如果对任意nN+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积.已知数列an是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+a12=.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+a12=4(a1+a2+a3)=4(1+2+4)=28.20.已知函数f(x)=x2-5x,数列an的通项公式为an=n+6n(nN+).当|f(an)-14|取得最小值时,n的所有可能取值组成的集合为.答案1,6解析令g(n)=|f(an)-14|=|an2-5an-14|=an-522-814,an=n+6n(nN+),an=n+6n26,要使g(n)最小,n+6n-522要尽量接近814,令n+6n-522=814,n+6n-52=92,an26,n+6n=52+92=7,解得n=1或6,n的所有可能取值组成的集合为1,6.5