1、2022 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题（考试时间：2022 年 5 月 22 日 14:3016:30）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分1.已知正实数 a、b 满足 ab=8a9b，则a 4a2log值为2.已知平面向量 a、b 满足：a=1，b=2，a b=1，记向量 a+2b 与向量 2a-b 的夹角为，则cos的值为3.已知数列 an满足：a1=1，a2=2，a2k+1=a22ka2k-1，且 a2k+2=2a2k+1-a2k k N*，则 a2022的末两位数字为4.已知实数 x、y 满足 x x+y y3=1，则3x+y-4的取值范围为5.已知函数
2、 f:1，2，10 1，2，3，4，5，且对一切 k=1，2，9，有 f k+1-f k 3则符合条件的函数 f 的个数为6.若 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+3c2=7，则 ABC 面积的最大值为7.已知函数 f x在 0，+上严格单调递减，对任意 x 0，+，均有 f x f f x+2x=13，记 g x=f x+4x2，x 0，+，则函数 g x的最小值为8.至少通过一个正方体的 3 条棱中点的平面个数为二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分 16 分）如图所示，ABCD 是一个矩形，AB=8，BC=4，M、N
3、 分别是 AB、CD 的中点，以某动直线 l 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 M 都落在边 CD 上，记为 M过 M 作 MP 垂直于 CD 交直线 l 于点 P设点 P 的轨迹是曲线 E（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线 E 的方程；（2）F 是 MN 上一点，FN=-3FM，过点 F 的直线交曲线 E 于 S、T两点，且 SF=FT，求实数 的取值范围10.（本题满分 20 分）已知各项均为正整数的数列 an满足：对于任意的正整数 m、k，都有 am2=a2m及am2+k2=amak，求数列 an的通项公式11.(本题满分 20 分)对任意正实数 a、b、c 及任意正实数 r 1，求证：ab+c+bc+a+ca+b arbr+cr+brcr+ar+crar+br ABCDMNMPFl
