1、第十三章 选考内容 1.坐标系与参数方程(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(4)了解参数方程，了解参数的意义(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 2不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.(3)通过一些
2、简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 131 坐标系与参数方程 1极坐标系 (1)在平面内取一个定点 O，叫做_；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做_；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取_方向)，这样就建立了一个_ 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的_，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的_，记为.有序数对(，)叫做点 M 的_，记为 M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数(2)一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示_特别地，极点 O 的坐标为_
3、(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有_表示 如果规定 0，02，那么除极点外，平面内的点可用_极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是_的 2极坐标和直角坐标的互化 (1)把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)从图中可以得出它们之间的关系：_ 由上式又得到下面的关系式：_ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差 2 的整数倍)一般只要取_就可以了 3简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义 一般地，在极坐标
4、系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(，)0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程 f(，)0 的点都在曲线 C上，那么方程_叫做曲线 C 的极坐标方程(2)常见曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为_；圆心为(r，0)，半径为 r 的圆的极坐标方程为 _2 2；圆心为r，2，半径为 r 的圆的极坐标方程为 (0)；过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为 _；过点(a，0)(a0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为 2 2；过点a，2，与极轴平行的直线的极坐标方程为 _(0b0)的参数方程是 (为参数)，规定参数 的取值范围是_
5、自查自纠：1(1)极点 极轴 逆时针 极坐标系 极径 极角 极坐标(2)同一个点(0，)无数种 惟一 惟一确定 2(1)xcos，ysin 2x2y2，tanyx（x0）(2)点拨：已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)(1)若 M1，M2是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M0M1|M0M2|t1t2|，|M1M2|t2t1|（t2t1）24t1t2.(2)若线段 M1M2的中点为 M3，点 M1，M2，M3对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3t
6、1t22.(3)若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为M0(x0，y0)，则 t1t20，t1t20)由x2 22 t，y4 22 t(t 为参数)消去 t 得 xy20.所以曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y22ax(a0)，xy20.(2)将x2 22 t，y4 22 t(t 为参数)代入 y22ax(a0)，整理得 t22 2(4a)t8(4a)0.设 t1，t2是该方程的两根，则 t1t22 2(4a)，t1t28(4a)，因为|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以 8(4a)248(4a)8(4a)，所以 a1.(2
7、016全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin4 2 2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 解：(1)C1的普通方程为x23y21，C2的直角坐标方程为 xy40.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为(3cos，sin)因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d()的最小值，d()|3cossin4|22sin3 2，当且仅当 2k
8、6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.点拨：圆与椭圆的参数方程的异同点：圆与椭圆的参数方程，实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角 (2014新课标)已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C
9、 上任一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 解：(1)曲线 C 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到l 的距离为 d 55|4cos3sin6|.则|PA|dsin302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.(2015全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin，(t 为参数，t0)，其中
10、0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2与 C3交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0，或x 32，y32.所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线 C1的极坐标方程为(R，0)，其中 00，y0)可知 M 的轨迹为一个半圆弧，所以点 M 的轨迹长度为 2.点拨：用参数法求轨迹方程
11、，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，然后再消去参数，化为普通方程很多与直线、圆、圆锥曲线有关的求轨迹的题目中，参数法更简捷 已知圆 C：x2y24，直线 l：x y2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|OP|OR|2，当点 P在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程，并指出它是什么曲线 解：(1)将 xcos，ysin 代入圆C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：2，l
12、：(cossin)2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2得 122.又 22，12cossin，所以2cossin4，故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cossin)(0)点 Q 轨迹的普通方程为(x1)2(y1)22，去掉(0，0)点 故点 Q 的轨迹是圆心为(1，1)，半径为 2的圆，去掉(0，0)点 1极坐标系(1)极坐标系内两点间的距离公式 设极坐标系内两点 P1(1，1)，P2(2，2)，则|P1P2 2122212cos（12）.特例：当 12时，|P1P2|12.(2)极坐标方程与直角坐标方程的互化 直角坐标方程化为极坐标方
13、程，只须将公式 xcos 及 ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，则往往要通过变形，构造出形如 cos，sin，2 的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧 通常情况下，由 tan 确定角 时，应根据点 P 所在象限取最小正角在这里要注意：当x0 时，角才能由 tanyx按上述方法确定当 x0 时，tan 没有意义，这时又分三种情况：当 x0，y0 时，可取任何值；当 x0，y0 时，可取 2；当 x0，y0 时，可取 32.2求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点 M(，)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出
14、三角形，利用正弦定理求解|OM与 的关系；(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程 3参数方程与普通方程的互化(1)参数方程化为普通方程消去参数 消去参数的常用方法有：先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程，即代入法；利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是 sin2cos21，即三角公式法；整体观察，对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除)，或先分离参数再运算 总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用(2)普通方程化为参数方程选参数 一般来说，选择参数时应考虑以下两点：曲线上每一点
15、的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；参数与 x，y 的相互关系比较明显，容易列出方程 参数的选取应根据具体条件来考虑可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等 在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线 1若直线 l 的参数方程是x12t，y2t(tR)，则 l 的方向向量 d 可能是()A(1，2)B(2，1)C(2，1)D(1，2)解：易求出直线方程为 x2y50，方向向量(a，b)满足ba12，检验知(2，1)满足故选 C.2参数
16、方程x32cos，y42sin(为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最短距离为()A1 B2 C3 D4 解：参数方程x32cos，y42sin(为参数)表示的曲线的普通方程为(x3)2(y4)24，这是圆心为(3，4)，半径为 2 的圆，故圆上的点到坐标轴的最短距离为 1.故选 A.3在极坐标系中，直线(3cossin)2 与圆 4sin 的交点的极坐标为()A.2，6 B.2，3 C.4，6 D.4，3 解：(3cossin)2 可化为直角坐标方程 3xy2，即 y 3x2.4sin 可化为 x2y24y，把 y 3x2 代入 x2y24y，得 4x283x120，即 x22 3x30，所以
17、 x 3，y1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，6.故选 A.4(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是xt1，yt3(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程是 4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为()A.14 B2 14 C.2 D2 2 解：圆 4cos 在直角坐标系下的方程为(x2)2y24，直线的普通方程为 xy40，圆心到直线的距离是|204|22，弦长为222（2）22 2.故选 D.5 (2016皖南八校联考)若 直 线 l：x2t，y14t(t 为参数)与曲线
18、 C：x 5cos，ym 5sin(为参数)相切，则实数 m 为()A4 或 6 B6 或 4 C1 或 9 D9 或 1 解：由x2t，y14t(t 为参数)，得直线 l：2xy10，由x 5cos，ym 5sin(为参数)，得曲线 C：x2(ym)25，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m1|2215，解得 m4 或 m6.故选 A.6(2015湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线 C 的参数方程为xt1t，yt1t(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB
19、|()A2 6 B2 5 C4 D2 3 解：因为(sin3cos)0，所以sin3cos，所以 y3x，由xt1t，yt1t消去 t 得 y2x24，联立得方程组y3x，y2x24，解得x 22，y3 22或x 22，y3 22，不妨令 A22，3 22，B 22，3 22，由两点间的距离公式得|AB|22 2223 22 3 2222 5.故选 B.7在极坐标系中，点2，3 到直线(cos 3sin)6 的距离为_ 解：点 P2，3化为 P(1，3)，直线 (cos 3sin)6 化为 x 3y60.所以点 P 到直线的距离 d|136|1（3）21.故填1.8(2015上海六校一联)若点
20、 P(x，y)在曲线xcos，y2sin(为参数，R)上，则yx的取值范围是_ 解：由xcos，y2sin 消去参数 得 x2(y2)21，设yxk，则 ykx，代入式并化简，得(1k2)x24kx30，此方程有实数根，所以 16k212(1k2)0，解得 k 3或 k 3.故填(，3 3，)9(2015石家庄模拟)在直角坐标系 xOy中，圆 C 的参数方程为x1cos，ysin(为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2sin33 3，射线 OM：3 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段
21、PQ 的长 解：(1)圆 C 的普通方程为(x1)2y21，又 xcos，ysin，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos.(2)设 P(1，1)，则由2cos，3，得1 1，1 3，设 Q(2，2)，则 由（sin 3cos）3 3，3，得 23，23，所以 PQ2.10已知圆 M：x1cos，ysin(为参数)的圆心 F 是抛物线 E：x2pt2，y2pt的焦点，过 F的直线交抛物线于 A，B 两点，求|AF|FB|的取值范围 解：圆 M：x1cos，ysin的普通方程是(x1)2y21，所以 F(1，0)抛物线 E：x2pt2，y2pt的普通方程是 y22px，所以p21，p2，抛物线的方
22、程为 y24x.设 过 焦 点F的 直 线 的 参 数 方 程 为x1tcos，ytsin(t 为参数)代入 y24x，得 t2sin24tcos40.所以|AF|FB|t1t2|4sin2.因为 00，t20，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|3 2.5(2014浦东新区三模)在极坐标系中，已知 A1，2，点 P 是曲线 sin24cos 上任意一点，设点 P 到直线 cos10 的距离为d，求|PA|d 的最小值 解：点 A1，2 的直角坐标为 A(0，1)，曲线 sin24cos 的普通方程为 y24x，是抛物线 直线 cos10 的直角坐标方程为 x10，是此抛物线的准线 由抛物
23、线定义，点 P 到抛物线准线的距离等于它到焦点 F(1，0)的距离，所以 d|PF|，所以当 A，P，F 三点共线时，|PA|d 最小，最小值为|AF|2.6(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|10，求 l的斜率 解：(1)由 xcos，ysin 可得 C的极坐标方程为 212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对
24、应的极径分别为 1，2，将 l的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos110.于是 1212cos，1211，|AB|12|（12）2412 144cos244，由|AB|10得 cos238，tan 153，所以 l 的斜率为 153 或 153.(2015江西重点中学盟校高三第一次联考)在 直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 4，曲线 C 的参数方程为x 2cos，ysin.(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；(2)过点 M 平行于 l 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，若|MA|MB|83，求点
25、M 轨迹的直角坐标方程 解：(1)直线 l：yx，曲线 C：x22y21.(2)设点 M(x0，y0)及过点 M 的直线为 l1：xx0 2t2，yy0 2t2(t 为参数)，直线 l1与曲线 C 联立可得：3t22(2x02 2y0)tx202y2020.因为|MA|MB|83，所以x202y2023283，即 x202y206，而方程x26y231 表示一个椭圆 取 yxm 代入x22y21 得：3x24mx2m220，由 0 得 3m 3，故点 M的轨迹是椭圆x26y231 夹在平行直线yx 3之间的两段弧 132 不等式选讲 1基本不等式及其推广(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当_
26、时，等号成立(2)ab2 _(a，b0)，当且仅当_时，等号成立(3)abc3_(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立(4)a1a2ann_(ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立 2绝对值不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab_，当且仅当_时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac_，当且仅当_时，等号成立(3)|xa _ 3证明不等式的方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与0比较大小或_与1比较大小；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的
27、某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；(6)数学归纳法 以上方法可参见本书第十二章“算法初步、推理与证明”自查自纠：1 (1)2ab a b (2)ab a b(3)3 abc abc(4)n a1a2an a1a2an 2(1)|a|b ab0(2)|ab|bc (ab)(bc)0(3)axa xa 3(1)作差 作商(5)放大 缩小 不等式 1|x1|3 的解集为()A(0，2)B(2，0)(2，4)C(4，0)D(4，2)(0，2)解：原 不 等 式 等 价 于x10，1x13或x10，1（x1）3，解之得 0 x2 或4x0，下面四个不等式中，正
28、确的是()|ab|a|;|ab|b|；|ab|a|b|.A和 B和 C和 D和 解：因为 ab0，所以 a 与 b 同号，所以|ab|a|b|a|a|b|，故正确，错误，正确故选 C.“a2”是“关于 x 的不等式|x1|x2|a 的解集非空”的()A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为|x1|x2|x1(x2)|1，所以由不等式|x1|x2|1，所以“a2”是“关于 x 的不等式|x1|x2|a 的解集非空”的充分不必要条件故选 C.已知集合 Mx|x4|x1|5，Nx|ax6，且 MN(2，b)，则 ab_ 解：因为 Mx|0 x5，Nx|ax6，
29、MN(2，b)，所以 a2，b5，所以 ab7.故填 7.(2014重庆)若不等式|2x1|x2|a212a2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a的取值范围是_ 解：依题意，不等式右边须小于等于左边的最小值，|2x1|x2|13x5，），x2，3x52，5，212，从而|2x1|x2|52，解不等式 a212a252得 a1，12.故填1，12.类型一 绝对值不等式 设 f(x)|xa|，aR.(1)当 a5 时，解不等式 f(x)3；(2)当 a1 时，若 xR，使得不等式 f(x1)f(2x)12m 成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)当 a5 时，原不等式等价于|x5|3，即3x53
30、，所以 2x8.所以原不等式的解集为x|2x8(2)当 a1 时，f(x)|x1|，令 g(x)f(x1)f(2x)|x2|2x1|3x3，x12，x1，12x2；(2)若关于 x 的不等式 af(x)有解，求实数 a的取值范围 解：(1)不等式f(x)2x12，2x1x42，或12x4，2x1x42，或x4，2x1x42.解得 x7 或534.所以不等式的解集为xx53.(2)f(x)x5，x4.可知在，12 上，f(x)单调递减；在12，上，f(x)单调递增 要 af(x)有解，只要 af(x)min.由 f(x)单调性知 f(x)minf12 92.所以实数 a 的取值范围是92，.类型
31、二 含字母参数的绝对值不等式 设 函 数 f(x)|2x a|2x 1|(a0)，g(x)x2.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，原不等式等价于|2x1|2x1|x2.等 价 于x12，4xx2或12x12，2x2或x12，4xx2，解得 x或 0 x12或12x23，所以不等式的解集为x|0 x23.(2)|2xa|2x1|x2 等价于|2xa|2x1|x20，令 h(x)|2xa|2x1|x2，因为a0，所以h(x)5xa3，x12，xa1，12xa2，3xa1，xa2.易得 h(x)mi
32、nha2 a21，令a210，得a2.故 a 的取值范围是12n(n2)，所以12n(n1)sg(a)，我们可将左边放缩成 f1(a)，但必须同时保证 f1(a)g(a)0，否则称为放缩过度 (6)(数学归纳法)已知 m 为正整数，用数学归纳法证明：当 x1 时，(1x)m1mx.证明：当 x0 或 m1 时，原不等式中等号显然成立 下面用数学归纳法证明：当 x1，且 x0，m2 时，(1x)m1mx.当 m2 时，由 x0 得(1x)212xx212x，不等式成立 假设当 mk(k2)时不等式成立，即有(1x)k1kx.当 mk1 时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkx
33、kx21(k1)x.所以当 mk1 时不等式成立 由知，原不等式成立 点拨：数学归纳法主要是用来证明与正整数有关的命题，需要两步第一步是证明 n取第一个值 n0(n01 或 2 等)，命题成立(奠基)，第二步是假设 nk 时(kN，且 kn0)命题正确，证明当 nk1 时命题也正确，关键是从 nk 到 nk1 的变形，常采用“放缩法”或“拼凑法”来实现详见本书 12.5 节 (1)(2015全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明：()若 abcd，则 a b c d；()a b c d是|ab cd，得(ab)2(cd)2.因此ab c d.()(i)若|ab|cd，则(ab
34、)2(cd)2，即(ab)24abcd，由()得 a b c d.()若a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(a b)2 4ab(c d)2 4cd (c d)2.因 此|ab cd是|ab 0，b0，且 ab1a1b.求证：()ab2；()a2a2 与 b2b0，b0，得ab1.()由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2，当且仅当 ab1 时取等号()假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0 得 0a1；同理 0b1，从而ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b0，所以
35、f(n)在 N上是增函数所以 f(n)f(1)1213141312，故 1n1 1n213n11312.1解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解体现函数与方程思想)等这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定
36、2在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一 3作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构 4运用“f(x)af(x)maxa，f(x)af(x)mina”可解决恒成立问题中的参数范围问题 5用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的这种方法灵活性较大，技巧性较强 1“ab0
37、”是“|ab|a|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 ba0 时，|ab|a|b|，故充分性不成立 当|ab|a|b|时，两边平方得 ab|ab|，则 ab0，故必要性成立 综上可知，“ab0”是“|ab|a|b|”的必要不充分条件故选 B.2已知不等式|2xt|t10 的解集为12，12，则 t()A0 B1 C2 D3 解法一：因为|2xt|1t，所以 t12xt1t，即 2t12x1，t12x12.所以 t0.解法二：(排除法)若 t1，原不等式无解所以排除 B，C，D.故选 A.3不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成
38、立，则实数 a 的取值范围为()A(，1 D(，10，m1，不等式的解为 nm1x nm11，从而解集中的 3 个整数为2，1，0，3 nm12，即 2 nm13，2m2n3m3，结合 0n1m，得 2m2m1，m3，即 1m0)，若不等式 f(x)6 的解集为(，24，)，则 a 的值为_ 解：由已知有|21|2a|6，|41|4a|6，解得 a3.故填 3.14 设f(x)|2x 1|，若 不 等 式f(x)|a1|2a1|a|对任意实数 a0 恒成立，则 x 的取值集合是_ 解：|a1|2a1|a|11a 21a|11a 21a|3，所以右式最大值为 3，从而|2x1|3，解得 x1 或
39、 x2.故 x 的取值集合为x|x1 或 x2故填x|x1 或x2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(10 分)在极坐标系中，已知圆 C 经过点P2，4，圆心为直线sin3 32 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 解：因为圆 C 的圆心为直线 sin3 32 与极轴的交点，所以在 sin3 32 中令 0，得 1.所以圆 C 的圆心坐标为(1，0)因为圆 C 经过点 P2，4，所以圆C的半径为PC（2）21221 2cos4 1.所以圆 C 经过极点 所以圆 C 的极坐标方程为 2cos.16(10 分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴
40、重合，直线 l的极坐标方程为 sin6 12，曲线 C 的参数方程为x22cos，y2sin(为参数)(1)写出直线 l 的直角坐标方程；(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 解：(1)因为 sin6 12，所以 32 sin12cos 12，所以 32 y12x12，即直线 l 的直角坐标方程为 x 3y10.(2)解法一：由已知可得，曲线 C 上的点的坐标为(22cos，2sin)，所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离 d|22cos2 3sin1|24cos3 3272.故曲线 C 上的点到直线 l的距离的最大值为72.解法二：曲线 C 的直角坐标方程为(x2)2y24，
41、所以曲线 C 是以(2，0)为圆心，2 为半径的圆圆心到直线 l 的距离为|21232，所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为32272.17(10 分)(2016武汉模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的参数方程为x1tcos，ytsin(t 为参数，为直线的倾斜角)(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 有唯一的公共点，求角 的大小 解：(1)当 2 时，直线 l 的普通方程为 x1；当 2 时，直线 l 的普通方程为 y(
42、tan)(x1)由 2cos，得 22cos，所以 x2y22x，即为曲线 C 的直角坐标方程(2)把 x1tcos，ytsin 代入 x2y22x，整理得 t24tcos30.当 2 时，方程化为 t230，方程不成立；当 2 时，由 16cos2120，得cos234，所以 cos 32 或 cos 32.故直线 l 的倾斜角 为6 或56.18(10 分)(2016全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为xacost，y1asint(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为
43、极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2(y1)2a2.C1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆 将 xcos，ysin 代入 C1的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin1a20.(2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22sin1a20，4cos.若0，由 方 程 组 得16cos2 8sincos1a20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos0，从而 1a20，解得 a1(舍去)或 a1.a1 时，极点也为 C1，C2
44、的公共点，在 C3上所以 a1.19(10 分)(2014吉林九校联合体二模)已知关于 x 的不等式|ax1|axa|1(a0)(1)当 a1 时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时，得 2|x1|1，即|x1|12，解得 x32或 x12，所以不等式的解集为xx12或x32.(2)因为|ax1|axa|a1|，所以原不等式解集为 R 等价于|a1|1，所以 a2 或 a0.因为 a0，所以 a2，所以实数 a 的取值范围为2，)20(10 分)(2016商丘三模)设 f(x)|x1|2|x1|的最大值为 m.(1)求 m；(2)若
45、a，b，c(0，)，a2c22b2m，求 abbc 的最大值 解：(1)f(x)|x 1|2|x 1|x3，x1，3x1，1x1，x3，x1.画出 f(x)的图象如图所示，所以 f(x)maxf(1)2，即 m2.(2)由(1)知a2c22b22.因为 a，b，c(0，)，所以 aba2b22，bcb2c22，所以 abbca2b22b2c22a2c22b22.所以 abbc 的最大值为 2.21(10 分)(2016全国)已知函数 f(x)x12 x12，M 为不等式 f(x)2 的解集(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)2x，x12，1，12x1
46、2，2x，x12.当 x12时，由 f(x)2 得2x2，解得 x1，所以1x12；当12x12时，f(x)2 成立；当 x12时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1，所以12x1.所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，因此|ab|1ab|.22(10 分)已知函数 f(x)|2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|，当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2，解不等式|2x2|26，得1x3.因此 f(x)6 的解集为x|1x3(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解；当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以 a 的取值范围是2，)