1、十二章 算法初步、推理与证明 1.算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环 2基本算法语句 了解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义 3了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 4了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理 5了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点 6了解反证法的思考过程和特点 7了解数学归纳法的原理，能用数
2、学归纳法证明一些简单的数学命题 121 算法初步 1算法的概念及特点(1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定_解决某一类问题的_和_的步骤(2)算法的特点之一是具有_性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有_性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有_性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题 2程序框图(1
3、)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用_、_及_来表示算法的图形(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符号 名 称 功 能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立 时 标 明“否”或“N”连接程序框 连接程序框图的两部分 3.算法的基本逻辑结构(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按_的顺序进行的它是由若干个_的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式 (2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断
4、，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式 (3)循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是_反复执行的步骤称为_ 循环结构有如下两种形式：如图 1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环因此，这种循环结构称为_ 如图 2 表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环因此，这种循环结构称为_ 4输入(INPUT)语句 输入语句的一般格式：_.要求：(
5、1)输入语句要求输入的值是具体的常量；(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔 5输出(PRINT)语句 输出语句的一般格式：_.功能：实现算法输出信息(表达式)要求：(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔 6赋值语句 赋值语句的一般格式：_.赋值语句中的“”叫做
6、赋值号，它和数学中的等号不完全一样 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量 要求：(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式如：2x 是错误的(2)赋值号的左右两边不能对换赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量如“AB”“BA”的含义和运行结果是不同的，如 x5 是对的，5x 是错的，ABC是错的，CAB 是对的(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)7条件语句(1)“IFTHEN”语句 格式：_ 说明：当计算机执行“IFTHEN”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，
7、那么(THEN)执行语句体，否则执行 END IF之后的语句(2)“IFTHENELSE”语句 格式：_ 说明：当计算机执行“IFTHENELSE”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体 1，否则(ELSE)执行语句体 2.8循环语句(1)直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为：_(2)当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为：_ 自查自纠：1(1)规则 明确 有限(2)确定 有序 有穷 2(1)程序框 流程线 文字说明(2)终端框(起止框)输入、输出框 处理框(执行框)判断框 流程线 连接点 3(1)从上到下 依
8、次执行(3)循环结构 循环体 直到型循环结构 当型循环结构 4INPUT“提示内容”；变量 5PRINT“提示内容”；表达式 6变量表达式 7(1)IF 条件 THEN 语句体END IF (2)IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 8.(1)DO循环体LOOP UNTIL 条件 (2)WHILE 条件循环体WEND 下列各式中的 S 值不可以用算法求解的是()AS1234 BS1222321002 CS11213110 000 DS1234 解：由算法的有限性知，D 不正确，而 A，B，C 都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选 D.下面程序运行后输出结果
9、是 3，则输入的x 值一定是()INPUT x IF x0 THEN yx ELSE yx END IF PRINT y END A3 B3 C3 或3 D0 解：该程序语句是求函数 y|x|的函数值，因为 y3，所以 x3.故选 C.(2015重庆)执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是()As34 Bs56 Cs1112 Ds2524 解：第一次循环，得 k2，s12；第二次循环，得 k4，s121434；第三次循环，得 k6，s34161112；第四次循环，得 k8，s1112182524，此时退出循环，输出 k8，所以判断框内可填入的条件是 s1112
10、.故选 C.下 列 循 环 语 句，循 环 终 止 时，n _ n2WHILE nb成立，故输出 i 的值为 3.故填 3.类型一 算法的概念 下列语句是算法的个数为()从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；统筹法中“烧水泡茶”的故事；测量某棵树的高度，判断其是否为大树；已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积 A1 B2 C3 D4 解：中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；中节约时间，烧水泡茶完成了任务；中对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造；是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形的面积故选 C.点拨：算法过程要做到
11、一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果 下列叙述能称为算法的个数为()植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；顺序进行下列运算：112，213，314，991100；从宜昌乘火车到武汉，从武汉乘飞机到北京；3xx1；求所有能被 3 整除的正数，即 3，6，9，12，.A2 B3 C4 D5 解：可称为算法，不是，故选 B.类型二 经典算法 “韩信点兵”问题韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从 13 报数，结果最后一个士兵报 2；再令士兵从 15 报数，结果最后一个士兵报 3；又令士兵从 17 报数，结果
12、最后一个士兵报 4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数请设计一个算法，求出士兵至少有多少人 解：在本题中，士兵从 13 报数，最后一个士兵报 2，说明士兵的总人数是除以 3 余 2，其他两种情况依此类推(算法一)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以 7 余 4 的数是 4；第二步：依次加 7 就得到所有满足除以 7 余4 的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数：18；第四步：依次加上 35，得 18，53，88，；第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以 3 余 2 的正整数：53，
13、这就是我们要求的数(算法二)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以 3 余 2 的数是 2；第二步：依次加 3 就得到所有满足除以 3 余2 的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以 5 余 3 的正整数：8；第四步：然后依次加 15 就得 8，23，38，53，不难看出，这些数既满足除以 3 余 2，又满足除以 5 余 3；第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以 7 余 4 的最小数是 53，这就是我们要求的数 点拨：给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问
14、题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法 一位商人有 9 枚银元，其中有一枚略轻的是假银元请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来 解：算法如下：第一步：把银元分成 3 组，每组 3 枚；第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第 3 组内；第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的
15、两边如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元 类型三 顺序结构 已知点 P(x0，y0)和直线 l：Ax ByC0，求点 P(x0，y0)到直线 l 的距离 d，写出其算法并画出流程图 解：算法如下：第一步：输入 x0，y0及直线方程的系数 A，B，C.第二步：计算 z1Ax0By0C.第三步：计算 z2A2B2.第四步：计算 d|z1z2.第五步：输出 d.流程图如图所示 点拨：顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的 阅读如图所示的程序框图，若输入的
16、 a，b，c 的值分别是 21，32，75，则输出的 a，b，c 分别是()A75，21，32 B21，32，75 C32，21，75 D75，32，21 解：该程序框图的执行过程是：输入 21，32，75；x21；a75；c32；b21；输出 75，21，32.故选 A.类型四 条件结构 (2016天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为()A2 B4 C6 D8 解：第一次循环，S8，n2；第二次循环，S2，n3；第三次循环，S4，n4，故输出S 的值为 4.故选 B.点拨：条件结构的运用与数学的分类讨论有关设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构 (2
17、015全国卷)如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a()A0 B2 C4 D14 解：执行该程序，输入 a，b 的值依次为 a14，b18；a14，b4；a10，b4；a6，b4；a2，b4；ab2，此时退出循环，输出的 a2.故选 B.类型五 循环结构 (2016全国卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x2，n2，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s()A7 B12 C17 D34 解：由题意，当 x2，n2，k0，s0时，输入
18、a2，则 s0222，k1，循环；输入 a2，则 s2226，k2，循环；输入 a5，s62517，k32，结束故输出的 s17.故选 C.点拨：解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体 (2016四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值
19、分别为 3，2，则输出 v 的值为()A9 B20 C18 D35 解：该程序框图的执行过程如下：i2，v1224，i1；v4219，i0；v92018，i1，此时输出 v18.故选C.类型六 输入、输出和赋值语句 请写出下面运算输出的结果(1)a5 b3 c(ab)/2 dc*c PRINT“d”；d(2)a1 b2 cab bacb PRINT“a，b，c”；a，b，c(3)a10 b20 c30 ab bc ca PRINT“a，b，c”；a，b，c 解：(1)语句“c(ab)/2”是将 a，b 之和的一半赋值给变量 c，语句“dc*c”是将 c 的平方赋值给 d，最后输出 d 的值故输
20、出结果为 d16.(2)语句“cab”是将 a，b 之和赋值给 c，语句“bacb”是将 acb 的值赋值给了b.故输出结果为 a1，b2，c3.(3)经过语句“ab”后 a，b，c 的值是 20，20，30，经过语句“bc”后 a，b，c 的值是 20，30，30，经过语句“ca”后 a，b，c 的值是 20，30，20.故输出结果为 a20，b30，c20.点拨：将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值 阅读下列两个程序，回答问题：x3y4xy x3y4yx 中程序输出的 x 值为_，中程序输出的 y 值为_ 解：
21、程序中的 xy 是将 y 的值 4 赋给 x，赋值后 x 的值变为 4；中 yx 是将 x 的值 3 赋给 y，赋值后 y 的值为 3.故填 4；3.类型七 条件语句 已知函数 yx21，x0，2x25，x0 THEN yx21 ELSE y2*x25 END IF PRINT“y”；y END 点拨：条件语句：“IFTHEN”及“IFTHENELSE”的用法在“考点梳理”栏有说明，需要注意的是，若是三段或三段以上的分段函数，通常需用条件语句的嵌套结构 编写程序，使得任意输入的 3 个整数按从小到大的顺序输出 解：算法分析：用 a，b，c 表示输入的 3 个整数，为了节约变量，把它们重新排列后
22、，仍用 a，b，c 表示，并使 abc.具体操作步骤如下 第一步：输入 3 个整数 a，b，c.第二步：将 a 与 b 比较，并把大者赋给 b，小者赋给 a.第三步：将 a 与 c 比较，并把大者赋给 c，小者赋给 a(此时 a 已是三者中最小的)第四步：将 b 与 c 比较，并把大者赋给 c，小者赋给 b(此时 a，b，c 已按从小到大的顺序排列好)第五步：按顺序输出 a，b，c.上述操作步骤可以用程序框图直观地表达出来 程序框图如图 根据程序框图，写出计算机程序为：INPUT“a，b，c”；a，b，c IF ba THEN ta ab bt END IF IF ca THEN ta ac
23、ct END IF IF cb THEN tb bc ct END IF PRINT a，b，c END 类型八 循环语句 若下面程序中输入的 n 值为 2 017，则输出的值为_ INPUT“n”；n S0 i1 WHILE in S S 1/(i*(i 1)ii1 WEND PRINT S END 解：本程序是计算 S 1121231n（n1）.裂项得 S112 1213 1n 1n1 nn1.所以当 n2 017 时，S2 0172 018.故填2 0172 018.点拨：计算机执行此程序时，遇到 WHILE 语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行 WHILE 和WEND 之间的循环
24、体，然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立，直至返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而执行 WEND 后面的语句，这是当型循环 计算 1222321002的值，分别用 WHILE 型语句和 UNTIL 型语句编写程序 解：WHILE 型：i=1 S=0 WHILE i100 PRINT S END 1设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则 2画程序框图首先要进行结构选择，套用格式若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题
25、涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构 3循环结构的循环控制 通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循环体；(3)确定终止条件注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好相反解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误 4在具体绘制程序框图时，要注意以下几点：(1)
26、流程线上要标有执行顺序的箭头(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错(4)判断框内条件常用“”“”“4 THEN yx3 ELSE END IF PRINT y END Ay3x Byx5 Cy5x Dyx5 解：y|x4|1x3，x4，5x，x4，故选 C.5(2016全国卷)执行如图的程序框图，如果输入的 x0，y1，n1，则输出 x，y 的值满足()Ay2x By3x Cy4x Dy5x 解：当 x0，y1，n1 时，x0112 0，y111，不满足
27、x2y236；n2，x0212 12，y212，不满足x2y236；n3，x12312 32，y326，满足x2y236，输出 x32，y6，则输出的 x，y 的值满足 y4x.故选 C.6(2015全国课标)执行如图所示的程序框图，如果输入的 t0.01，则输出的 n()A5 B6 C7 D8 解法一：执行程序，S12，m14，n1；S14，m18，n2；S18，m 116，n3；S 116，m 132，n4；S 132，m 164，n5；S 164，m 1128，n6；S 11286，故 n7.故选 C.7运行如图所示的程序，输出的结果是_ a1b2aabPRINT aEND 解：a1，b
28、2，则 ab3，根据赋值语句的含义，有 a3.故填 3.8(2016江苏)如图是一个算法的程序框图，则输出的 a 的值是_ 解：第一次循环，a5，b7；第二次循环，a9，b5，结束循环，故输出的 a 的值为 9.故填 9.9某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜请设计安全过河的算法 解：第一步，人带羊过河 第二步，人自己返回 第三步，人带青菜过河 第四步，人带羊返回 第五步，人带狼过河 第六步，人自己返回 第七步，人带羊过河 10求下面程序的运行结果 n10 s0 DO ssn nn1 LOOP UNTIL
29、s40 PRINT n END 解：n10，s0 直接进入循环体后，s10，n9；s19，n8；s27，n7；s34，n6；s40，n5，这时 s40，跳出循环，输出结果为 5.11设计一个算法计算 113 135 15712 0152 017的值，并画出程序框图 解：算法步骤如下：第一步，令 S0，k1.第二步，若 k2 017 成立，则执行第三步，否则输出 S.第三步，计算 SS1k（k2），kk2，返回第二步 程序框图如图所示：意大利数学家斐波那契，在 1202 年出版的算盘全书一书里提出了这样一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能
30、全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图 解：根据题意可知，第一个月有 1 对小兔，第二个月有 1 对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和，设第 N 个月有 F 对兔子，第 N1 个月有 S 对兔子，第 N2 个月有 Q 对兔子，则有 FSQ，一个月后，即第 N1 个月时，式中变量 S 的新值应变为第 N 个月兔子的对数(F 的旧值)，变量 Q 的新值应变为第 N1 个月兔子的对数(S 的旧值)，这样，用 SQ 求出变量 F 的新值就是 N1 个月兔子的对数，
31、依此类推，可以得到一个数序列，数序列的第 12 项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为 1，以此为基准，构造一个循环程序，让表示“第 x(x3)个月的 i 从 3 逐次增加 1，一直变化到 12，再循环一次得到的 F”就是所求结果流程图如图所示 122 合情推理与演绎推理 1两种基本的推理 推理一般包括_和_两类 2合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由_到整体、由_到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已
32、知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由_到_的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行_、_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 3演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由 _到_的推理(2)“_”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M 是 P.小前提：S 是 M.结论：S 是 P.自查自纠：1合情推理 演绎推理 2(
33、1)部分 个别(2)特殊 特殊(3)归纳 类比 3(1)一般 特殊(2)三段论 下列说法正确的是()A归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理 B在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 C“所有 9 的倍数都是 3 的倍数，某数 m 是9 的倍数，则 m 一定是 3 的倍数”，这是三段论推理 D在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 解：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，故 A 错；平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适，故 B 错；在演绎推理中，不仅要符合演绎推理的形式，还要大前提正确，推理过程正确，结论才正确，故
34、 D 错；只有 C 正确故选 C.由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是()A归纳推理 B类比推理 C演绎推理 D以上都不是 解：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)所以，由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”推出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理故选 B.(2015烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A使用了归纳
35、推理 B使用了类比推理 C使用了“三段论”，但大前提错误 D使用了“三段论”，但小前提错误 解：三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题故选 C.(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_ 解：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以甲、乙的卡片中必有一张写有 1 和 3，而丙的卡片又不可能写有 2 和 3(和不是 5)，则丙的
36、卡片上写的只能是 1 和 2.从而知乙卡片上写有 2 和3(与丙相同数字不是 1)，则甲卡片上写有 1 和 3.故填 1 和 3.如图是武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是_(填写对应图形的序号)解：由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转 144得到的，由第三个图形顺时针旋转 144得到的图形应为.故填.类型一 归纳推理 根据下列条件，写出数列中的前 4项，并归纳猜想它的一个通项公式(1)a13，an12an1；(2)a1a，an112an.解：(1)由已知有 a13221，a22a112317231，a32a2
37、127115241，a42a31215131251.由此猜想 an2n11，nN*.(2)由已知有 a1a，a212a1 12a，a312a2 2a32a，a412a332a43a.由此猜想 an（n1）（n2）an（n1）a，nN*.点拨：本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题 (1)给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表 n(n1，2，3，)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1，3，5，2n1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表 4
38、，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的 顺 序 构 成 等 比 数 列，并 将 结 论 推 广 到 表n(n3)(不要求证明)解：表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1，2，3，4 行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列对于表 n(n3)，各行中的平均数分别是 n，2n，4n，8n，它们构成首项为 n，公比为 2 的等比数列 (2)(2015山东)观察下列各式：C0140；C03C1341；C05C15C2542；C07C17C27C3743；照此规律，当 nN*时，C02n1 C12n1 C22n1 Cn12
39、n1 _ 解：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为 4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有 C02n1C12n1C22n1Cn12n14n1.故填 4n1.类型二 类比推理 在ABC 中，若 ABAC，ADBC 于D，则 1AD2 1AB2 1AC2.在四面体 ABCD 中，若 AB，AC，AD 两两垂直，AH底面 BCD，垂足为 H，则类似的结论是什么？并说明理由 解：如图，在四面体 ABCD 中，若 AB，AC，AD 两两垂直，AH底面 BCD，垂足为 H，则 1AH2 1AB2 1AC2 1AD2.证明如下：连接 BH 并延长交 CD 于 E，连接AE.因为
40、 AB，AC，AD 两两垂直，所以 AB平面ACD.又因为 AE 平面 ACD，所以 ABAE.在 RtABE 中，有 1AH2 1AB2 1AE2.又易证 CDAE，所以在 RtACD 中，1AE2 1AC2 1AD2.将式代入式得 1AH2 1AB2 1AC2 1AD2.点拨：本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有
41、：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用 S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表 示 截 面 面 积，那 么 类 比 得 到 的 结 论 是_ 解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得 S21S22S23S24.故填 S21S22S23S24.类型三 演绎推理 指出下面推理中的错误：(1)自然数是整数 大前提 5 是整数 小前提 所以，5 是自然数 结论(2)指数函数 yax是增函数 大前提 y12x是指数函数 小前提 所以，y12x是增函数 结论(3)三角函数是周期函数 大前提
42、 ysinx(0 x)是三角函数 小前提 所以，ysinx(0 x)是周期函数 结论 解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数(2)大前提错误，因为当 0ab0)的面积 Sab D由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 解：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，只有 B 是归纳推理，故选 B.2(2016合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确 解：因为 f(x)si
43、n(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确故选 C.3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)t m(nt)”类 比 得 到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“acbcab”类比得到“acbcab”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4 解：由向量的数量积的定义及运算律知，正确，错误故选 B.4观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，
44、则 a10b10()A28 B76 C123 D199 解：归纳推理：因为 134，347，4711，71118，111829，182947，294776，所以 a10b104776123，故选C.5(2016西安联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第 60 个“整数对”是()A(7，5)B(5，7)C(2，10)D(10，1)解：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为 n1，且每组共有 n 个整数时，这样的前 n 组一共有n（n1）2个整数，
45、注意到10（101）26011（111）2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个位置，结合题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，因此第60 个整数对是(5，7)故选 B.6如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FBAB时，椭圆的离心率为 512，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为()A.512 B.512 C.51 D.51 解：设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，F(c，0)，B(0，b)，A(a，0)，则FB(c，b)，
46、AB(a，b)因为FBAB，所以FBABacb20.又因为 b2c2a2，所以 c2aca20，即e2e10.解得 e1 52.又 e1，所以 e1 52.故选 A.7观察等式：sin30sin90cos30cos903，sin15sin75cos15cos751，sin20sin40cos20cos40 33.照此规律，对于一般的角，有等式_ 解：根据等式的特点，分别用，代替两个 角，并 且 发 现tan 309023，tan157521，tan2040233，故对于一般的角，的等式为sinsincoscostan2.故填sinsincoscostan2.8在平面直角坐标系中，若点 P(x，
47、y)的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L.例如图中ABC是格点三角形，对应的 S1，N0，L4.(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为 SaNbLc，其中 a，b，c 为常数若某格点多边形对应的 N71，L18，则 S_(用数值作答)解：(1)由定义知，四边形 DEFG 为一个直角梯形，其内部格点有 1 个，边界上格点有 6 个，S四边形 DEFG3，所以 S3，N1，L6.(2)由待定系数法可得，12a0
48、b3c，1a0b4c，3a1b6c，解得a1，b12，c1.当 N71，L18 时，S1711218179.故填 3，1，6；79.9先解答(1)，再根据结构类比解答(2)(1)已知 a，b 为实数，且|a|1，|b|ab；(2)已知 a，b，c 均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.证明：(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)因为|a|1，|b|1，|c|1，所以|ab|abc，所以 abc21(abc)1(ab1)cabc.10某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数()sin213 cos217 sin13 cos17；()sin215 cos215
49、 sin15 cos15；()sin218 cos212 sin18 cos12；()sin2(18 )cos248 sin(18)cos48；()sin2(25 )cos255 sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 解法一：(1)选择()式，计算如下：sin215cos215sin15cos15 112sin3011434.(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2cos(30)sin2cos
50、(30)(cos30cossin30sinsin)sin2cos(30)(cos30cossin30sin)sin2 (cos30 cos sin30 sin)(cos30cossin30sin)sin2cos230cos2sin230sin2 sin234cos214sin2 34sin234cos234.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)1cos22 1cos（602）2sin(cos30cossin30sin)12 12 cos2 12 12(cos60 cos2 sin60s
51、in2)32 sincos12sin2 1212cos21214cos234 sin234 sin214(1cos2)34.11某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图、为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形 (1)求出 f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n1)与 f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求 f(n)的表达式 解：(1)因为 f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，所以 f(5)254441.(2)因为 f(2)f(1)
52、441.f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律得出 f(n1)f(n)4n.因为 f(2)f(1)41，f(3)f(2)42，f(4)f(3)43，f(n1)f(n2)4(n2)，f(n)f(n1)4(n1)各式相加得 f(n)f(1)4 2(n1)n，所以 f(n)2n22n1.(2014北京模拟)祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等可以用诗句“两个胖子一般高
53、，平行地面刀刀切；刀刀切出等面积，可知必然同样胖”形象表示其内涵利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体试用祖暅原理推导球的体积公式(提示：利用等底等高的圆柱、圆锥与半球体积的关系构造参照体)解：我们先推导半球的体积如图 1，为了计算半径为 R 的半球的体积，我们先观察 V 圆锥、V 半球、V 圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系，可以发现V 圆锥V 半球V 圆柱，即13R3V 半球R3，根据这一不等关系，我们可以猜测 V 半球23R3，并且由猜测可发现 V 半球V 圆柱V 圆锥 下面进一步验证猜想的可靠性关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构
54、造出，如图所示下面利用祖暅原理证明猜想 证明：用平行于平面 的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面如果截面与底平面 的距离为 l，那么圆面半径 rR2l2，圆环面的大圆半径为 R，小圆半径为截面截圆锥面所得圆的半径，设为 r0，如图 2，O2AlR R2R2 2l，知 OA2r20(2l)2l2l2，因此 S 圆r2(R2l2)，S 环R2r20(R2l2)，所以 S 圆S 环 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 V 半球R2R13R2R23R3，所以 V 球43R3.123 直接证明与间接证明 1直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学 定 义、公 理、定
55、理 等，经 过 一 系 列 的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或_法(2)分析法：一般地，从要证明的_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的_归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推证法或_法(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式 2间接证明 反 证 法：一 般 地，假 设 原 命 题_(即 在 原 命 题 的 条 件 下，结 论_)，经过_，最后得出_这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾因此说
56、明假设_，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法 自查自纠：1(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因 2不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误 (2015黄冈高二检测)设 a，bR，且ab，ab2，则必有()A1aba2b22 Bab1a2b22 Caba2b221 D.a2b221ab 解：abab221a bb a，则实数 a，b 应满足的条件是()Aab0 Babb Da0，b0，且 ab 解：因为(a ab b)(a bb a)(ab)(a b)0，所以 a0，b0，且 ab.故选 D.用反证法证明命题：“一个三角形中
57、不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为 180矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C 中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_ 解：由反证法证明的步骤知，先反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为.故填.命题“a，b 是实数，若|a1(b1)20，则 ab1”，用反证法证明时应假设_ 解：ab1 表示 a1 且 b1，故其否定是 a1，或 b1.故填 a1，或 b1.类型一 直接证明 已 知 a，b，c R，求 证：a2b2c23abc3.证法一：采用分析法 要证a2b2c23a
58、bc3，只需证a2b2c23abc32，只需证 3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证 2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以a2b2c23abc3成立(当且仅当abc 时等号成立)证法二：采用综合法 因为 a，b，cR，所以(ab)2(bc)2(ca)20，所以 2(a2b2c2)2(abbcac)，所以 3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，所以 3(a2b2c2)(abc)2，所以a2b2c23abc3(当且仅当 abc 时等号成立)点拨：分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”
59、，后者是“由因导果”常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述 已知：a0，b0，ab1.求证：a12b122.证明：要证a12b122，只需证 a12b122a12 b12 4，又 ab1，故只需证a12 b12 1，只需证a12 b12 ab12(ab)141，只需证 ab14.因为 a0，b0，1ab2 ab，所以 ab14，故原不等式成立(当且仅当 ab12时取等号)类型二 间接证明 (2015湖南)设 a0，b0，且 ab1a1b.证明：(1)ab2；(2)a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1，由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2.(2)假设 a2a2 与 b2
60、b2 同时成立，则由a2a0 得 0a1；同理，0b1，所以 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立 点拨：一 般 地，对 于 结 论 是“都 是”“都 不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾、与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的 已知 f(x)ax2bxc，若 ac0，且 f(x)在上的最大值为 2，最小值为52.求证：a0 且ba 2.证明：假设 a0 或ba 2.(1)当 a0 时，由 ac
61、0，得 f(x)bx，显然 b0.由题意得 f(x)bx 在上是单调函数，所以 f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件，得|b|(|b|)25212，这与|b|(|b|)0 相矛盾，所以 a0.(2)当ba 2 时，由二次函数的对称轴为 x b2a，知 f(x)在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 所以f（1）abc2，f（1）abc52，或f（1）abc52，f（1）abc2.又 ac0，则此时 b 无解，所以ba 2.由(1)(2)得 a0 且ba B，只需C0，则 f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零 C恒为正值 D无法确定正负 解：由f(x)是定义在R
62、上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函 数，由 x1 x20，可 知 x1 x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则 f(x1)f(x2)bc，且 ab c0，求证 b2ac0 Bac0 C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0 解：b2ac3ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选 C.4已知 ab0，且 ab1，若 0cq Bpab1，所以 plogca2b22logc14 ablogc140，所以 qp.故选 B.5设表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y
63、，有()A B2 C D 解：取 x1.6，y2.7，则1，2，3，2，故 A，B 错误；4，故 C 错故选 D.6(2016大连模拟)设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的 a，bS，对于有序元素对(a，b)，在 S中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)，若对任意的a，bS，有 a*(b*a)b，则对任意的 a，bS，下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aa B*(a*b)a Cb*(b*b)b D(a*b)*b 解：由已知条件可得对任意 a，bS，a*(b*a)b，则 b*(b*b)b，*(a*b)b*(a*b)a，(a*b)*(a*b)*ab
64、，即选项 B，C，D 中的等式均恒成立，仅选项 A 中的等式不恒成立故选 A.7(2015河北保定高二期末)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解：若 a12，b23，则 ab1，但 a1，b2，故推不出；若 a2，b3，则 ab1，故推不出；对于，若 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1.故填.8(原创题)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|1，用分析法证明|xy|1xy
65、|”估计污损部分的文字内容为_ 解：要证|xy|1xy|，需证(xy)2(1xy)2，化简得 x2y21x2y2，(x21)(1y2)0，因为|x|1，又要证的不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|1”故填|y|1.9已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若 ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论 解：(1)证明：因为 ab0，所以 ab.因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 f(a)f(b)同理，ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为：若
66、f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.该命题成立，下面用反证法证之 假设 ab0，那么：ab0abf(a)f(b)，ab0baf(b)f(a)，所以 f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故 ab0.逆命题得证 10已知 a，b 是不等正数，且 a3b3a2b2，求证：1aba2abb2得(ab)2ab，又 ab0，所以 ab1.要证 ab43，即证 3(ab)0，所以只需证明 3(ab)24(ab)，又 aba2abb2，即证 3(ab)20.因为 a，b 是不等正数，故(ab)20 成立 故 ab43成立 综上，得 1ab0，y0，所以要证x2xyyx2y23，只需证 3x
67、(x2y)3y(2xy)2(2xy)(x2y)，即证 x2y22xy，此式显然成立 所以x2xyyx2y23.再证xx2yy2xy23.同理，只需证 3x(2xy)3y(x2y)2(x2y)(2xy)，即证 x2y22xy，这显然成立 所以xx2yy2xy23.综上所述，存在常数 C23，使得不等式x2xyyx2yCxx2yy2xy对任意正数 x，y 恒成立 124 数学归纳法 1数学归纳法的证题步骤 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时
68、命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有_都成立 2数学归纳法的适用范围 数学归纳法主要用于解决与_有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可 自查自纠：1(2)nk nk1 正整数 n 2正整数 用数学归纳法证明 1121312n11)时，第一步应验证不等式()A1122 B112132 C112133 D11213141，所以 n 取的第一个数为 2，左端分母最大的项为122113，故选 B.设 f(n)1n1 1n2 12n(nN*)，那么 f(n1)f(n)等于()A.12n1 B.12n2 C.12n112n2 D.12n112n2 解
69、：f(n 1)f(n)1（n1）1 1（n1）2 12n12n112（n1）1n1 1n2 12n 12n1 12（n1）1n112n112n2.故选 D.设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当 f(k)k2成立时，总可推出 f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立 B若 f(2)4 成立，则 f(1)1 成立 C若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有f(k)k2成立 D若 f(4)16 成立，则当 k4 时，均有f(k)k2成立 解：易知 A，B 错；选项 C 中，应是 k3 时，均有 f(k)k2成立；
70、易知选项 D 正确故选 D.已 知 数 列112，123，134，1n（n1），通过计算得 S112，S223，S334，由此可猜测 Sn_ 解法一：通过变化规律猜测 Sn nn1.解 法 二：Sn 112 123134 1n（n1）112 1213 1314 1n 1n1 1 1n1 nn1.故填 nn1.用数学归纳法证明 123n2n4n22，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上_ 解：等式左边是从 1 开始的连续自然数的和，直到 n2，故 nk1 时，最后一项是(k1)2，而nk 时，最后一项是 k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.故填(k21)(k22)(k2
71、3)(k1)2.类型一 证明等式 证明：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边11212，右边12，等式成立(2)假设 nk(kN*)时等式成立，即 112131412k1 12k 1k1 1k2 12k，那么，当 nk1 时，112131412k1 12k12k112k2 1k1 1k2 12k12k112k2 1k2 1k3 12k12k112k2.根据(1)和(2)，可知等式对任何 nN*都成立 点拨：用数学归纳法证明与正整数 n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从 nk 到 nk1 时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳
72、证明的步骤，即可证明待证等式 求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明：n1 时，左边12223，右边3，等式成立 假设 nk 时，等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当 nk1 时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)，所以 nk1 时，等式也成立 由得，等式对任何 nN*都成立 类型二 证明不等式 已知 f(n)11231331431n3，g(n)32 12n2，nN*.(1)当 n1，2，3 时，试比较 f(n)与 g(n)
73、的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明 解：(1)当 n1 时，f(1)1，g(1)1，所以 f(1)g(1)；当 n2 时，f(2)98，g(2)118，所以f(2)g(2)；当 n3 时，f(3)251216，g(3)312216，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想 f(n)g(n)，下面用数学归纳法证明：当 n1，2，3 时，不等式显然成立 假设当 nk(k3，kN*)时不等式成立，即 11231331431k332 12k2，那么，当 nk1 时，f(k1)f(k)1（k1）332 12k21（k1）3，因 为12（k1）2 12k21（k1）3k32
74、（k1）3 12k23k12（k1）3k20，所以 f(k1)3212（k1）2g(k1)由可知，对一切 nN*，都有 f(n)g(n)成立 点拨：用数学归纳法证明不等式，同样要弄清增加的项，很多情况下，还要利用放缩法进行证明 已知函数 f(x)13x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较11a111a211a311an与 1 的大小，并说明理由 解：因为 f(x)x21，an1f(an1)，所以 an1(an1)21.因为函数 g(x)(x1)21x22x 在区间3n19，所以 f(n1)f(n)23n12(2n7)3n(4n20)3n，当 n1 时，该式的值为72 可被
75、36 整除，当 n2 时，4n20 可被 4 整除，3n可被 9 整除，则(4n20)3n可被 36 整除，即证故选 C.7在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验 n_时命题成立 解：凸多边形至少有 3 条边故填 3.8(2014广东东莞模拟)观察下列不等式：121；12 16 2；12 16 112 3；，则第 5 个不等式为_ 解：因为 212，623，1234，所以第 n 个不等式的左边有 n 项，分子都是 1，分母依次为 12，23，n（n1），右边为 n，即 12 161n（n1）n.所以第5个不等式为 12 16 112 120130 5.故填 1
76、2 16 112 120 1300，an1a2n2（an1），求证：an2 且 an10，所以 an1，所以 an2a2n12（an11）2（an12）22（an11）0，所以 an2.若存在 ak2，则ak12，由此可推出 ak22，a12，与 a1a2 矛盾，故 an2.因为 an1anan（2an）2（an1）0，所以 an12)当 n1 时，a1a2，故命题 an2 成立；假设 nk(k1 且 kN*)时命题成立，即ak2，那 么，ak 1 2 a2k2（ak1）2（ak2）22（ak1）0，所以 ak12，即 nk1 时命题也成立 综上所述，命题 an2 对一切正整数成立 an1an
77、的证明同上 11(2015湖北八市三月联考)已知数列xn满足 x112，且 xn1 xn2xn(nN*)(1)用数学归纳法证明：0 xn0，即 xk10.又因为 xk112（xk1）2xk0，所以 0 xk11.综合可知 0 xn0，整数 p1，nN*.(1)证明：当 x1 且 x0 时，(1x)p1px；(2)数列an满足 a1c1p，an1p1pancpa1pn.证明：anan1c1p.证明：(1)用数学归纳法证明：当 p2 时，(1x)212xx212x，原不等式成立 假设 pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx 成立 当 pk1 时，(1x)k 1(1x)(1x)k(1x)(1
78、kx)1(k1)xkx21(k1)x，所以 pk1 时，原不等式也成立 综合可得，当 x1 且 x0 时，对一切整数 p1，不等式(1x)p1px 均成立(2)先用数学归纳法证明 anc1p.当 n1 时，由题设 a1c1p知 anc1p成立 假设 nk(k1，kN*)时，不等式 akc1p成立 由 an1p1p ancpa1pn 易知 an0，nN*.当 nk1 时，ak1ak p1pcpapk 11pcapk1.由 akc1p0 得11p1pcapk1 1p1pcapk1 capk.因此 apk1c，即 ak1c1p.所以 nk1 时，不等式 anc1p也成立 综合可得，对一切正整数 n，
79、不等式anc1p均成立 再由an1an 11pcapn1 可得an1an 1，即 an1an1c1p，nN*.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2015开封市月考)算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是()A一个算法中只能含有一种逻辑结构 B一个算法中可以含有以上三种逻辑结构 C一个算法中必须含有以上三种逻辑结构 D一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构 解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选 B.2计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()a1b3aabbabPRINT
80、a，b A1，3 B4，1 C0，0 D6，0 解：把 1 赋给变量 a，把 3 赋给变量 b，由语句“aab”得 a4，即把 4 赋给变量 a，由语句“bab”得 b1，即把 1 赋给变量 b，输出a，b，即输出 4，1.故选 B.3(2015武汉华师一附中期中考试)用反证法 证 明 命 题“若sin1cos2 cos 1sin21，则 sin0 且 cos0”时，下列假设的结论正确的是()Asin0 或 cos0 Bsin0 且 cos0 Csin0 或 cos0 且 cos0 解：用反证法证明，只需要否定命题的结论，即 sin0 或 cos2 PRINT n END n0 DO nn1
81、LOOP UNTIL n2 PRINT n END A B.n0 WHILE n2 nn1 WEND PRINT n END C D.解：运行各选项程序，易知 A 选项的输出结果为 2.故选 A.8(2016柳州模拟)阅读如图所示程序框图，如果输出的函数值在区间14，12 内，那么输入实数 x 的取值范围是()A B(，1 C Df(1)613n23n1.又 f(1)1312311，所以 f(n)3n23n1(直接给出结果也可)(2)证明：当 n2 时，1f（n）13n23n113n23n 131n11n.当 n1 时，显然结论成立，当 n2 时，1f（1）1f（2）1f（3）1f（n）113
82、112 1213 1n11n 11311n 11343.综上，结论成立 21(12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生 (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i(i1，2，3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据 甲的频数统计表(部分)运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 30 14 6 10
83、 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分)运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 30 12 11 7 2 100 1 051 696 353 当 n2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望 解：(1)变量 x 是在 1，2，3，24 这 24个整数中随机产生的一个数，共有 2
84、4 种可能当x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P112；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P213；当 x从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 P316.所以，输出 y 的值为 1 的概率为12，输出 y的值为 2 的概率为13，输出 y 的值为 3 的概率为16.(2)当 n2 100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值 i(i1，2，3)的频率如下：输出 y 的值 为 1 的频率 输出 y 的值 为 2
85、 的频率 输出 y 的值 为 3 的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙 1 0512 100 6962 100 3532 100 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量 可能的取值为 0，1，2，3.P(0)C03130233 827，P(1)C1313123249，P(2)C2313223129，P(3)C33133230 127.故 的分布列为 0 1 2 3 P 827 49 29 127 所以，E0 8271492293 1271，即 的数学期望为 1.22(12 分)把正整数按从小到大、左小右大的原则依次排成如
86、图所示的数表：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设 aij(i，jN*)是数表中从上往下数第 i 行，从左往右数第 j 个数，数表中第 i 行共有 2i1个正整数(1)若 aij2 017，求 i，j 的值；(2)设 Ana11a22a33ann(nN*)，试比较 An与 n2n 的大小，并说明理由 解：(1)由于前 10 行共有 121222921011 023 个数，而 2 0171 023994，所以 i11，j994.(2)因为 a1120，a22211，a33222，a44233，ann2n1(n1)，所以 An20(211)(222)(233)(202122232n1)2n1n2n22.所以 An(n2n)2n1（n23n2）2.验证知，当 n1，2，3 时，Ann2n.以下用数学归纳法证明：当 n4 时，2n1n23n2.当 n4 时，25324234230，不等式成立；假设 nk 时，2k1k23k2 成立，则当nk1 时，2k222k12(k23k2)k22k13k3k2k(k1)23(k1)2.即 nk1 时，不等式也成立 综上知，当 n4 时，2n1n23n2.亦即当 n4 时，Ann2n.