1、3 计算导数授课提示：对应学生用书第 17 页自主梳理一、计算函数 yf(x)在 xx0 处的导数的步骤1通过自变量在 x0 处的改变量 x，确定函数在 x0 处的改变量：y_.2确定函数 yf(x)在 x0 处的平均变化率：yx_.3当 x 趋于 0 时，得到导数：f(x0)_.二、导函数一般地，如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x)：f(x)_，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的_，通常也简称为_三、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数yc(c 是常数)y0yx(是实数)yx1yax(a0，a1)ya
2、xln a特别地(ex)exylogax(a0，a1)y 1xln a 特别地(ln x)1xysin xycos xycos xysin xytan xy 1cos2xycot xy 1sin2x双基自测1若 f(x)3 x，则 f(x)等于()A.13 x2 B.133 x2C.3 x23D.13x x2f(x)0 的导数是()A0B1C不存在D不确定3若 f(x)cos4，则 f(x)()Asin4Bsin4C0Dcos44给出下列结论：若 y1x3，则 y3x4；若 y3 x，则 y133 x；若 y1x2，则 y2x3；若 yf(x)3x，则 f(1)3；若 ycos x，则 ysi
3、n x；若 ysin x，则 ycos x.其中正确的个数是()A3B4C5D65若函数 f(x)xn 在 x2 处的导数值为 12，则 n_.自主梳理一、1.f(x0 x)f(x0)2.fx0 xfx0 x 3.0limxfx0 xfx0 x 二、0limxfxxfxx 导函数 导数双基自测1B f(x)x13，f(x)13x13113x23133 x2.2A 常数函数的导数为 0，故选 A.3C f(x)cos4 22，故 f(x)0.4B 由求导公式可知，正确53 f(2)n2n112，所以 n3.授课提示：对应学生用书第 18 页探究一 利用导函数定义求导数 例 1 求函数 f(x)x
4、25x 在 x3 处的导数和它的导函数解析 f(x)0limxxx25xxx25xx0limx2xxx25xx0limx(2xx5)2x5.f(3)23511.利用定义求函数 yf(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数 yf(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算 yf(xx)f(x)；(3)当 x 趋于 0 时，得到导函数f(x)0limxfxxfxx.1利用导数定义求 f(x)1 的导函数，并求 f(2)，f(3)解析：f(x)f(xx)f(x)110，yx0.x 趋于 0 时，yx趋于 0.所以 f(x)0.所以有 f(2)0，f(3)0.探究二 利用导数公式求导数 例 2
5、求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y1x3；(3)ylog2x.解析(1)y(x8)8x7.(2)y(1x3)(x3)3x313x4.(3)y(log2x)1xln 2.1用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度2利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式将题中函数的结构进行调整如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导2求下列函数的导数：(1)yx32；(2)y 13 x；(3)y2e3；(4)y2cos x.解析：(1)y(x32)32x12.(2)y(13 x)(x13)13x43.(3)y(2e
6、3)0.(4)y(2cos x)2(cos x)2sin x.探究三 导数的综合应用 例 3 点 P 是曲线 yex 上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离解析 根据题意设平行于直线 yx 的直线与曲线 yex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 yx 距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 f(x0)1.y(ex)ex，ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为 22.利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数
7、求解3已知直线 ykx 是 yln x 的一条切线，求 k 的值解析：设切点坐标为(x0，y0)yln x，y1x.f(x0)1x0k.点(x0，y0)既在直线 ykx 上，也在曲线 yln x 上，y0kx0，y0ln x0，把 k1x0代入式得 y01，再把 y01 代入式求出 x0e.k1x01e.利用分类讨论思想处理两曲线的公切线问题 例 4 求曲线 C1：yx2 与曲线 C2：yx3 的公切线的斜率解析(1)当公切线切点相同时，对 C1，C2 分别求导得 y12x，y23x2.令 2x3x2，解得 x0 或 x23.当 x0 时，2x3x20；当 x23时，2x3x243.此时 C1
8、 的切线方程为 y4943x23，而 C2 的切线方程为 y 82743x23.显然两者不是同一条切线，所以 x23舍去(2)当公切线切点不同时，在曲线 C1，C2 上分别任取一点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 y12x1，y23x22，因为 AB 的斜率为 kABx21x32x1x2，所以有 2x13x22x21x32x1x2.由 2x13x22，得 x132x22，代入 3x22x21x32x1x2中，解得 x289，x13227.此时公切线的斜率为 2x16427.综上所述，曲线 C1，C2 有两条公切线，其斜率分别为 0，6427.感悟提高 解答此类问题，应考虑切点是否相同，从而应分类讨论：切点同与不同两种情况对于切点相同时，应先求出两函数的导数，令两导数相等，求出切点坐标，写出切线方程、并检验两方程是否相同；对于切点不同时，可设出两切点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据kC1kC2kAB，列出关于 x1，x2 的方程(组)，解出 x1，x2，求出公切线的斜率
