1、单元检测三一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.由三条直线x=0,x=2,y=x3和y=0所围成的图形的面积为 .答案 42.（2008福建文，11）如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=f(x)的图象可能是 .答案 3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案 4.（2008广东文）设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点，则a的取值范围为 .答案 a-15.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且=-4，那么p、q的值分别为 .答案 6,96.已知x0,y0，x+3y=9,则x2y的最大值为 .答案
2、 367.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （填序号）.f(x)0的解集是x|0x2;f(-)是极小值，f()是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值.答案 8.函数f(x)的图象如图所示，则0,f(3)-f(2),f(2),f(3)的大小顺序为 .答案 0f(3)f(3)-f(2)f(2)9.设f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2(0,+),若有恒成立，则正数k的取值范围是 .答案 1，+）10.定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef(x)的图象如图所示，则y=f(x)的增区间是 .答案 (-,2)11.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律
3、F=kl计算.今有一弹簧原长90 cm，每压缩1 cm需0.049 N的压缩力，若把这根弹簧从80 cm压缩至60 cm（在弹性限度内），则外力克服弹簧的弹力所做的功为 J.答案 0.68612.如图所示，曲线y=x2-1及x轴围成图形的面积S为 .答案 13.若函数f(x)=在区间（m,2m+1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 .答案 （-1，014.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=3x2+2xf(2),则f(5)= .答案 6二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.（14分）已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函数，求b
4、的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x-1,2时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围.解 （1）f(x)=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函数，则f(x)0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.(2)由题意知f（1）=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因f(x)=3x2-x-2,令f(x)=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f()=+c,f(-1)=+c,f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+cc
5、2.解得c2或c-1，所以c的取值范围为（-，-1）（2，+）.16.（14分）设p:y=(x2-4)(x-a)在(-,-2)和(2,+）上是单调增函数；q:不等式(2t-2)dta的解集为R，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.解 命题p:由原式得y=x3-ax2-4x+4a,y=3x2-2ax-4,y的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得f(-2)0且f(2)0,即.-2a2.命题q: (2t-2)dt=(t2-2t)|=x2-2x=(x-1)2-1a,该不等式的解集为R，a-1.当p正确q不正确时，-1a2;当p不正确q正确时，a-2.a的取值范围是（-，-2）-1
6、，2.17.（14分）一列火车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)=5-t+ (单位：m/s)紧急刹车至停止.求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了多少米？解 （1）当火车的速度v=0时火车完全停止，即5-t+=0,t2-4t-60=0，解得t=10或t=-6（舍去).即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10 s.（2）由（1）知，从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10 s,又由火车的速度v(t)=5-t+,得火车正常行驶的速度v=v(0)=60 (m/s).火车正常运行的路程与紧急刹车后火
7、车运行的路程之差为6010-(5-t+)dt=600-5t-+55ln(t+1)|=600-55ln11,即紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了(600-55 ln11)米.18.（16分）已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A且与抛物线C相切，直线l2:x=a(a-1)交抛物线C 于点B，交直线l1于点D.（1）求直线l1的方程；（2）求ABD的面积S1；（3）求由抛物线C及直线l1和直线l2所围成的图形面积S2.解 （1）由条件知点A（-1，2）为直线l1与抛物线C的切点，y=4x,直线l1的斜率k=-4,直线l1的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+
8、2=0.(2)点A的坐标为（-1，2），由条件可得点B的坐标为（a，2a2），点D的坐标为（a，-4a-2），ABD的面积S1为S1=|2a2-(-4a-2)|-1-a|=|(a+1)3|=-(a+1)3.(3)直线l1的方程可化为y=-4x-2,S2=2x2-(-4x-2)dx=(2x2+4x+2)dx=2(x3+x2+x)| =-2(a3+a2+a)=-a3-2a2-2a-.19.（16分）如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.解 设P（
9、x0，y0），则y0=x,过点P的切线斜率k=x0,当x0=0时不合题意，x00. 直线l的斜率kl=-=-,直线l的方程为y-x=-(x-x0).此式与y=x2联立消去y得x2+x- x-2=0.设Q（x1,y1）,M(x,y).M是PQ的中点，,消去x0，得y=x2+1(x0)就是所求的轨迹方程.由x0知x20,y=x2+12+1=+1.上式等号仅当x2=,即x=时成立，所以点M到x轴的最短距离是+1.20.（16分）已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-，-2）上为减函数.（1）求f(x)的表达式；（2）若当x时，不等式f(x)m恒成立，求实
10、数m的值；（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.解 （1）f(x)=2(1+x)-=2,依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-,-2)上为减函数.x=-2时，f（x）有极小值，f（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.(2)由于f(x)=2(1+x)-=,令f(x)=0,得x1=0,x2=-2.（由于x，故x2=-2舍去），易证函数在上单调递减，在0，e-1上单调递增，且f()=+2,f(e-1)=e2-2+2,故当x时，f(x)max=e2-2,因此若使原不等式恒成立只需me2-2即可.（3）若存在实数b使得条件成立，方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g(x)=1-=,令g(x)0,得x-1或x1,令g(x)0,得-1x1,故g(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间0，1和1，2上各有一个实根，于是有2-2ln2b3-2ln3,故存在这样的实数b,当2-2ln2b3-2ln3时满足条件.