1、第4节函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)
2、为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.常用结论与易错提醒1.函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T
3、2a(a0).3.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(
4、x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案B3.(2019北京东城区二模)下列函数中既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()A.yx3 B.ycos xC.yex D.y|x|1解析yx3是奇函数，故A排除；yex是非奇非偶函数，C排除；ycos x是偶函数，但在(0，)上有增也有减，B排除，只有D正确.答案D4.若函数yf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 020)f(2 019)()A.
5、2 020 B.0C.1 D.2 020解析因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0，且f(0)0，而f(2 020)f(21 0100)f(0)0，f(2 019)f(21 0091)f(1)0，故选B.答案B5.若偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析f(x)为偶函数，f(1)f(1).又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3).f(1)3.答案36.设a0且a1，函数f(x)为奇函数，则a_，g(f(2)_.解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，即a0120，a2；当x0时，x0，g(f(2)g22
6、1222.答案22考点一函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0且a1)，则函数f(x)的奇偶性()A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关C
7、.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关(2)(2019北京卷)设函数f(x)cos xbsin x(b为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)函数f(x)b的定义域为(，0)(0，)，f(x)bb.当b1时，易知函数f(x)为奇函数，当b1时，函数f(x)为非奇非偶函数，所以函数f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.(2)f(x)cos xbsin x为偶函数，对任意的xR，都有f(x)f(x)，即cos(x)bsin(x)cos xbsin x，2bsin x0.由x的任意
8、性得b0.故f(x)为偶函数b0.必要性成立.反过来，若b0，则f(x)cos x是偶函数.充分性成立.“b0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】 (1)(一题多解)(2019浙江新高考仿真卷三)已知函数f(x)，则f(0)_，f(log23)f_.(2)(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a8.解得a3.答案(1)00(2)3规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系
9、数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A.3 B.1 C.1 D.3(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x22(x0)，若f(a2)0，则a的取值范围为()A.2，22，)B.2，2C.2，2D.2，)解析(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇
10、函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.(2)函数f(x)的图象如图所示，由题可知f(0)0且f()0，则a20或a2，解得2a2或a2，故选A.答案(1)C(2)A考点三函数的周期性及其应用【例3】 (1)(2020杭州质检)已知函数f(x)(xR)的周期为T(T0)，且在(0，T)上单调，则()A.f(x2)是周期函数，且在(0，)上单调B.f(x2)不是周期函数，且在(0，)上单调C.f(x2)是周期函数，且在(0，T2)上单调D.f(x2)不是周期函数，且在(0，T2)上单调(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，2)时，f(x)2xx
11、2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析(1)因为f(xA)2f(x22AxA2)，显然2AxA2不是与x无关的常数，所以函数f(x2)不是周期函数，当x(0，)时，x2(0，T)，因为函数f(x)在(0，T)上单调，所以函数f(x2)在(0，)上单调，故选B.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0，2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1，f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案(1)B(2)1 010规律方法(1)根据函数的周期性
12、和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.【训练3】 (1)若函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则f(f(15)的值为_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.解析(1)因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2，2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos .(2)f(x4)f(x2)2f(x)，故函数的周期
13、为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案(1)(2)2.5考点四函数性质的综合运用【例4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.0 D.2(2)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m.则Mm_.解析(1)由题意知g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x).由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，f(x1)f(x1).由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，f(x1
14、)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)1，令g(x)，则g(x)g(x)，又xR.g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，故Mm2.答案(1)C(2)2规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期
15、性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练4】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数a满足f(log3 a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A.(0，3 B.C. D.1，3(2)(2019浙江新高考仿真卷三)已知偶函数f(x)满足f(1x)f(1x)，当x0，1时，f(x)ax2bxc，a，b，cN*.若函数f(x)在100，100上有400个零点，则abc的最小值为()A.5 B.8 C.11 D.12解析(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，故f(x)在(，0上单调递增.因为f(log3 a)f(
16、log a)2f(1)，所以f(log3 a)f(log3 a)2f(log3 a)2f(1)，即f(log3 a)f(1)f(1)，所以1log3 a1，解得a3，故选C.(2)由f(1x)f(1x)，得f(x2)f(x)f(x)，则函数f(x)为周期为2的周期函数，则函数f(x)在100，100上有400个零点等价于函数f(x)在0，1上有两个不同的零点，又因为a，b，cN*，所以即所以要使abc取得最小值，不妨取c1，不等式组化为以a为横轴，b为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5
17、，5)，此时ab5，所以abc的最小值为11，故选C.答案(1)C(2)C基础巩固题组一、选择题1.函数f(x)ln (a，bR，且ab0)的奇偶性()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，但与b有关D.与a无关，且与b无关解析易知f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)ln ln f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其奇偶性与a，b均无关，故选D.答案D2.(2019北京顺义区期末)已知函数f(x)2x2x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数解析f(x)2x，f(x)
18、2xf(x)，f(x)为奇函数，又函数y与y2x都是减函数，两个减函数之和仍为减函数.答案D3.(2019北京西城区综合练)若f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x2)f(x)，则()A.f(x)的值域为RB.f(x)为周期函数，且6为其一个周期C.f(x)的图像关于x2对称D.函数f(x)的零点有无穷多个解析f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)f(x)，f(0)0，又f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，f(4k)f(0)0(kZ)，所以函数f(x)的零点有无穷多个；因为f(x2)f(x)，f(x1)1f(x)，令t1x，则f(t1)f(1t)，
19、即f(x1)f(1x)，所以f(x)的图象关于x1对称，由题意无法求出f(x)的值域.答案D4.已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)，当x时，ff.则f(6)()A.2 B.1 C.0 D.2解析当x时，由ff，得f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知f(1)f(1)，且f(1)(1)312，因此f(6)f(1)2.答案D5.若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(，1) B.(1，0) C.(0，1) D.(1，)解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即，整理得(1a)(2x1)0，a1，f(x)3，即为
20、3，等价于(2x2)(2x1)0，12x2，0x1.答案C6.(2019浙江名师预测卷三)下列函数中，在1，1上的值域是2，2的是()A.f(x)2sin(x33x)B.f(x)sin3x3sin xC.f(x)cos3x3cos xD.f(x)2cos(x33x)解析因为yu33u是奇函数且在1，1上单调递减，ysin x为奇函数且在上单调递增.A中，x33x2，2，所以2sin(x33x)2，2，故A正确；B中，sin xsin 1，sin 1，因为1sin 1，所以sin3x3sin x的值域中不会有2，故B错误；C中，cos xcos 1，1，由0cos 1知0cos 1，1，所以f(
21、x)cos3x3cos x的值域中不包含0，故C错误；D中，x33x2，2，所以f(x)2cos(x33x)的值域为2cos 2，2，故D错误.故选A.答案A7.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A.(1，4) B.(2，0) C.(1，0) D.(1，2)解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.答案A8.对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的图象关于x1对称，且f(0)2，则f(2 019)f(2 020)()A.0 B.2
22、 C.3 D.4解析yf(x1)的图象关于x1对称，则函数yf(x)的图象关于x0对称，即函数f(x)是偶函数，令x1，则f(12)f(1)2f(1)，f(1)f(1)2f(1)0，即f(1)0，则f(x2)f(x)2f(1)0，即f(x2)f(x)，则函数的周期是2，又f(0)2，则f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022.答案B9.已知函数f(x)x，若f(x1)x2 B.x1x20C.x1x2 D.x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x1时，f(x)是周期为2的函数，故f(2)f(0)0，f
23、(x)的值域为(，0.答案014.若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_.解析由题意知af(0)0.设x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)f(4)(1681)25.答案025能力提升题组15.已知函数D(x)则()A.D(D(x)1，是D(x)的一个周期B.D(D(x)1，1是D(x)的一个周期C.D(D(x)0，1是D(x)的一个周期D.D(D(x)0，D(x)最小正周期不存在解析当x为有理数时，D(x)1，D(D(x)1，当x为无理数时，D(x)0，D(D(x)1，故排除C，D；若x为有理数，则D(x)1，D(x1)1，若x为无理
24、数，则D(x)0，D(x1)0，综上所述，D(x1)D(x)，所以1是函数D(x)的一个周期，而D()0，D()D(0)1，可知不是D(X)的周期，故选B.答案B16.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x1对称，则下列四个命题中错误的是()A.yg(f(x)1)为偶函数B.yg(f(x)为奇函数C.yf(g(x)的图象关于直线x1对称D.yf(g(x1)为偶函数解析由已知得f(x)f(x)，g(1x)g(1x)，则g(f(x)1)g(1f(x)g(f(x)1)，故函数g(f(x)1)为偶函数；g(f(x)g(f(x)g(2f(x)，即g(f(
25、x)为非奇非偶函数；f(g(x)f(g(2x)，故f(g(x)的图象关于直线x1对称；又f(g(x1)f(g(1x)，故f(g(x1)为偶函数.由此可知，选项A，C，D为真命题，选项B为假命题，故选B.答案B17.(2019浙江新高考仿真卷五)如果存在正实数a，使得f(xa)为奇函数，f(xa)为偶函数，我们称函数f(x)为“函数”.给出下列四个函数：f(x)sin x；f(x)cos x；f(x)sin xcos x；f(x)sin2其中“函数”的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析对于函数f(x)sin x，f(xk1)(k1Z)为奇函数，f(k2Z)为偶函数，所以不存在正实数a，
26、使得f(xa)为奇函数，f(xa)为偶函数，所以f(x)sin x不是“函数”；对于函数f(x)cos x，f(xk3)(k3Z)为偶函数，f(k4Z)为奇函数，所以不存在正实数a，使得f(xa)为奇函数，f(xa)为偶函数，所以f(x)cos x不是“函数”；对于函数f(x)sin xcos xsin，则存在a使得f(xa)为奇函数，f(xa)为偶函数，所以f(x)sin xcos x是“函数”；对于函数f(x)sin2sin，则存在a使得f(xa)为奇函数，f(xa)为偶函数，所以f(x)sin2是“函数”.综上所述，“函数”的个数为2，故选B.答案B18.已知f(x)是R上最小正周期为2
27、的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.答案719.(2020浙江教育绿色评价联盟适考)已知函数f(x)aex|x|a1为偶函数，则实数a_；关于x的不等式|f(x)|0的解为_.解析由f(x)为偶函数可知a0；则f(x)|x|1，|f(x)|0，即|x|1，则x1.答案0120.定义：函数f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间2b，3b1上的函数f(x)x3ax2(b2)x是奇函数，则ab_，函数f(x)的极差为_.解析由f(x)在2b，3b1上为奇函数，所以区间关于原点对称，故2b3b10，b1，又由f(x)f(x)0可求得a0，所以ab1.又f(x)x33x，f(x)3x23，易知f(x)在(2，1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(1，1)上单调递减，所以在2，2上的最大值、最小值分别为f(1)f(2)2，f(1)f(2)2，所以极差为4.答案14