1、2导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第15页自主梳理一、导数的概念当x趋于0时，如果平均变化率趋于一个_，那么这个值就是函数yf(x)在_的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在_的导数，通常用符号_表示，记作f(x0)li _.二、导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点_处的切线的_函数yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率反映了导数的几何意义双基自测1设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a()A1B.C1D.2设f(x)在x1处有导数且满足li 1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D13已知f
2、(x)2x2x，则f(x)_，f(1)_.4曲线f(x)x32在处切线的倾斜角为_自主梳理一、固定的值x0x0点f(x0)li 二、(x0，f(x0)斜率双基自测1C因为f(1)li lia(x)23ax3a3a3，所以a1.2Bli li li f(1)1.34x13因为y2(xx)2(xx)(2x2x)4xxx2(x)2，所以4x12x.故f(x)li li (4x12x)4x1.所以f(1)4113.445因为kli li li li 1，所以直线的倾斜角为45.授课提示：对应学生用书第15页探究一求函数在某点处的导数例1求函数yf(x)在x2处的导数解析y1，.f(2)li li 1.
3、由导数的定义可知，求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0)li .1求函数f(x)在x1处的导数解析：yf(1x)f(1)1，.当x无限趋近于0时，1x无限趋近于1，无限趋近于，f(1).探究二求曲线的切线方程例2求曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程解析曲线yf(x)2x21在点P(1,3)处的斜率为：kli li li 4.切线方程为y34(x1)，即4xy10.求曲线在点(x0，f(x0)处的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得
4、切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2已知f(x)x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标及切线方程解析：设点P的坐标为(x0，x)，斜率kli li li li3x3x0x(x)23x.3x3，x01.P点的坐标是(1,1)或(1，1)，则切线方程为y13(x1)或y13(x1)，即为3xy20或3xy20.探究三导数几何意义的综合应用例3已知抛物线y2x21，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x8y30?解析设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4
5、x02x.当x趋于零时，趋于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，切线的斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，切线的斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直， 切线的斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等3求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线
6、方程解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)由f(x0)li li li .故所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在所求的直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线y上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所以直线方程为xy20.因对导数的概念理解不透彻而致误例4已知f(x)在xx0处的导数为4，则li _.解析li li 2 li 2f(x0)248.答案8错因与防范本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错注意本题分子中x0的增量是2x，即(x02x)x02x，解决此类问题关键是变形分母中x0的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为c li (c，k为常数且kc0)的形式