1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 1 课时 平面向量的概念及线性运算 考纲点击1.在三角形或平行四边形中进行向量加法、减法的运算.2.结合向量相等和向量数乘的运算，判断两个向量共线.3.利用共线向量定理解答三点共线问题和求字母参数的值.1(2016高考北京卷)设 a，b 是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 D.取 ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|
2、ab|2，整理得 ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D.2(2014高考课标全国卷)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.BCB.12ADC.ADD12BC解析：选 C.如图，EBFCECCBFBBCECFB12(ACAB)122 AD AD.3(2014高考福建卷)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OCOD 等于()A.OMB2OMC3OMD4OM解析：选 D.因为点 M
3、 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以点 M 是 AC 和 BD 的中点，由平行四边形法则知OA OC 2OM，OB OD 2OM，故OA OC OB OD 4OM.4(2015高考课标卷)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与a2b 平行，则实数 解析：依据共线向量定理列方程组求解.ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即 abta2tb，t，12t，解得12，t12.答案：12考点一 平面向量的概念命题点 对向量概念的理解向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的 方向0模(3)单位向量：长度等于的向量(4)
4、平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且相同的向量(6)相反向量：长度相等且相反的向量 1个单位相反方向方向1给出下列五个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab；在ABCD 中，一定有ABDC；若 mn，np，则 mp；若 ab，bc，则 ac.其中不正确的个数是()A2B3C4D5解析：选 B.两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故不正确；、正确；零向量与任一非零向量都平行，当 b0
5、时，a 与 c不一定平行，故不正确 2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a0(为实数)，则 必为零，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选 C.错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点 正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量(1)平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概
6、念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法(2)几个重要结论 相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；平行向量与起点无关；向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小考点二 平面向量的线性运算命题点 三角形法则、平行四边形法则的应用条件平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(ab)c 三角形a(bc)ba平行四边形减法求 a 与 b 的相反 向 量 b的 和 的 运 算叫做 a 与 b的差法则 aba(b)三角形1已知两个非零向量 a，b 满足|ab|
7、ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab解析：选 B.法一：(代数法)：将原式平方得|ab|2|ab|2，a22abb2a22abb2，ab0，ab，故选 B.法二：(几何法)：如图所示，在ABCD 中，设ABa，AD b，ACab，DB ab.|ab|ab|，平行四边形两条对角线长度相等，即ABCD 为矩形，ab.2(2017衡水中学质检)若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足|3 AM ABAC|0，G 为 BC 的中点，则ABM 与ABC的面积之比等于()A.34B14C.13D12如图，G 为 BC 的中点，则ABAC2 AG，|3 AM ABAC|0，3
8、 AM ABAC0，3 AM ABAC2 AG，|AM|AG|23，SABMSABG23，又 SABG12SABC，ABM 与ABC 的面积之比等于122313，故选 C.解析：选 C.3.(2017大连高三检测)如图，在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AHBC 于点 H，M 为 AH 的中点若AM ABBC，则 解析：因为 AB2，ABC60，AHBC，所以 BH1.因为点 M 为 AH 的中点，所以AM 12AH 12(AB BH)12AB13BC 12AB16BC，又AM ABBC，所以 12，16，所以 23.答案：23(1)向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即
9、第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；(2)向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；(3)平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同；(4)当两向量平行时，三角形法则适用，平行四边形法则不适用；(5)向量加法的多边形法则：A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An.考点三 向量共线定理及应用命题点 点共线与向量共线向量的数乘及共线向量 1定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：(1
10、)|a|；(2)当 0 时，a 与 a 的方向；当 0 时，a 与 a的方向；当 0 时，a|a|相同相反0a2运算律：设，是两个实数，则(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.3共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba1(2017四川资阳模拟)已知向量ABa3b，BC5a3b，CD 3a3b，则()AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线解析：选 B.BD BCCD 2a6b2(a3b)2AB，A，B，D 三点共线故选 B.2(2016高考全国甲卷)已知向量 a(m，4)，b(3，2)，且
11、 ab，则 m解析：a(m，4)，b(3，2)，ab，2m120，所以 m6.答案：63已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及所在平面内一点 P 满足PAPBPCAB，则点 P 与ABC 的关系为()AP 在ABC 内部BP 在ABC 外部CP 在边 AB 上DP 在边 AC 上解析：选 D.由PAPBPCABPBPA，得 2PAPC0，CP2PA，即CPPA，C、P、A 三点共线(1)若 a，b 不共线，则 ab0 的充要条件是 0，(2)向量PA，PB，PC中三终点 A，B，C 共线存在实数，使得PA PB PC且 1.(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线
12、的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线化解平面向量平行的诀窍诀窍 1 用方程法求参数值典例 1 已知非零向量 e1 和 e2 不共线，若向量 2te1e2 和向量 e12e2 共线，则实数 t 的值为解析 因为 2te1e2 与 e12e2 共线，所以存在实数，使 2te1e2(e12e2)，则(2t)e1(21)e2.由于 e1 和 e2 不共线，所以2t0，210，解得 t14.答案 14方法探究 用方程思想破解向量共线问题通过待定系数这一桥梁，使得这类难题变平凡向量平行也称向量共线，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情
13、况诀窍 2 用化归法判断动点位置典例 2 已知点 P 是ABC 所在平面内的一点，CD 是ABC 的中线，若PD 12 PA12CB，其中 R，则点 P 一定在()AAB 边所在的直线上BAC 边所在的直线上CBC 边所在的直线上DABC 的内部分析 因为 CD 是ABC 的中线，所以边 AB 的中点为 D，利用平行四边形法则，把向量PD 转化为向量PA，PB的关系，再观察已知向量等式，利用向量减法法则，把向量CB转化为向量PB，PC的关系，从而把已知向量等式化简，最后利用向量共线的充要条件，即可判断点 P 的位置 解析 连接 PB，PC.因为 CD 是ABC 的中线，所以边 AB的中点为 D
14、，所以PAPB2 PD.因为PD 12 PA12CB，所以12(PAPB)12 PA12(PBPC)，所以PC PA，所以 A，C，P 三点共线，因此点 P 一定在 AC 边所在的直线上 答案 B方法探究 已知平面向量所满足的向量等式，判断动点的位置的关键是用好“题眼”，即对已知的向量等式进行转化，常结合图形，若能转化为共线向量的等式，则动点的位置也就凸显了以三角形或四边形等平面几何图形包装的动点的位置问题，常需先运用平面向量的加法、减法运算进行转化，再利用共线向量的等式，因此应熟悉向量的加法、减法所遵循的平行四边形法则和三角形法则，要掌握图形的运算和字母的运算其中最容易出错的是向量的减法运算
15、，差向量的方向是指向被减向量的已知点 P 是ABC 内部一点，若PAPB2 PC0，则APC的面积与BPC 的面积之比为解析 设边 AB 的中点为 D，连接 PD，如图所示，则有PAPB2 PD，因为PAPB2 PC 0，所以PAPB2PC，所以PD PC，所以 P，C，D 三点共线，即 CD 为边 AB 上的中线又点 A，B 到 CD 的距离相等，所以APC 的面积与BPC的面积相等，即APC 的面积与BPC 的面积之比为 11.答案 111考前必记(1)平面向量的概念(2)共线向量定理(3)向量的加减(平行四边形法则，三角形法则)及数乘运算2答题指导(1)看到向量，想到有向线段的起点与终点(2)看到共起点向量求和，想到平行四边形法则(3)看到首尾相接的向量求和，想到三角形法则(4)看到向量减法，想到三角形法则(5)看到共线向量，想到向量共线定理课时规范训练