1、3反证法授课提示：对应学生用书第7页自主梳理一、反证法的定义1在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者_，我们可以先假定命题结论的_成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题结论的反面_成立，由此断定命题的结论_这种证明方法叫作_2反证法是一种_证明的方法二、反证法的证明步骤1作出_的假设；2进行推理，导出_；3否定_，肯定_双基自测1命题“在ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()AabBabCab Dab2若a、b、c不全为零，必须且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一个为0Ca、b、c中只有一个是0Da、b、c中
2、至少有一个不为03用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是()A.成立 B.成立C.或成立 D.且成立自主梳理一、必居其一反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立反证法间接二、否定结论矛盾假设结论双基自测1B2Da、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.3C授课提示：对应学生用书第7页探究一证明否定性命题例1求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.证明假设bc0.(1)若b0，c0，方程变为x20，则x1x20是方程x2bxc20的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾(2)若b0，c0，方程变为x2c20，但c0，此时方程无解，与x2bxc20有两个
3、不相等的非零实数根相矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程根为x10，x2b，这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知bc0.结论中出现“不”“不是”“不存在”“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理此时用反证法更方便1设an是公比为q(q0)的等比数列，Sn是它的前n项和，求证：数列Sn不是等比数列证明：假设Sn为等比数列，则SS1S3，a(1q)2a1a1(1qq2)a10，(1q)21qq2，即q0，与q0矛盾Sn不是等比数列探究二证明唯一性问题例2求证函数f(x)2x1有且只有一个零点证明(1)存在性：因为210，所以为函
4、数f(x)2x1的零点所以函数f(x)2x1至少存在一个零点(2)唯一性：假设函数f(x)2x1除外还有零点x0，则ff(x0)0.即212x01，x0，这与x0矛盾故假设不成立，即函数f(x)2x1除外没有零点综上所述，函数f(x)2x1有且只有一个零点1结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了2“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a
5、平行证明：假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行探究三证明“至少”“至多”等问题例3已知a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0.这与abc0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法3已知x，y，zR，xyz1，
6、x2y2z2，求证：x，y，z0，证明：假设x，y，z中有负数，不妨设x0，则yz1x，y2z2，x2y2z2x2x2x2xx(x).x0，x0.x(x)，矛盾x，y，z中没有负数假设x，y，z中有一个大于，不妨设x，则x2y2z2x2x2x2xx(x).x，x0.x(x)0.x(x)，矛盾x，y，z中没有大于的综上，x，y，z0，反证法在证明问题中的应用例4(本题满分12分)已知：0，0，且sin()2sin ，求证：.证明(1)假设(，均为锐角) 2分由sin()2sin 得sin cos cos sin 2sin ，所以2sin cos 2sin ，所以cos 1， 3分与相矛盾，故. 5分(2)假设(，均为锐角)，由sin cos cos sin 2sin 得cos sin sin (2cos )，即. 9分由 0得sin sin 0， 1. 10分又0cos cos 1，所以2cos 1，所以1.故不成立，故. 11分因为且，所以.综上. 12分规范与警示易漏掉两种情况的讨论，失分点由此等式推导得出矛盾，关键点易漏掉此结论，解析过程要完整反证法的关键是找矛盾，所以应注意前后联系在证明过程中步骤要完整，步步有理有据，说服力强，不能随意丢弃任何条件，特别是假设的否定不能忽略