1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 3 课时 变量间的相关关系、统计案例 考纲点击1.以实际生活问题为背景，利用统计表格中的数据与已知的回归系数求解线性回归直线方程，并根据线性回归直线方程进行估计、预算等.2.以实际生活问题为背景，获取 22 列联表，代入K2 计算公式求值，并根据其所在区间对两组数据的相互独立性进行判断.1(2015高考全国卷)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C20
2、06 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：选 D.根据柱形图易得选项 A，B，C 正确，2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项 D 错误故选 D.2(2015高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x(万元)8.28.610.011.311.9 支出 y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 ybxa，其中 b0.76，ayb x据此估计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为()A11.4 万元B11.8 万元C12.0
3、 万元D12.2 万元解析：选 B.由题意知，x8.28.610.011.311.9510，y6.27.58.08.59.858，a 80.76100.4，当 x15 时，y 0.76150.411.8(万元)3(2014高考江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查 352 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表 1成绩性别 不及格及格总计 男61420女102232总计163652表 2视力性别 好差总计 男41620女122032总计163652表 3智商性别 偏高正常总计 男81220女82432总计
4、163652表 4阅读量性别 丰富不丰富总计 男14620女23032总计163652A.成绩 B视力C智商D阅读量解析：选 D.因为 A 中，K2152（6221410）216363220 52821636322031 440，B 中，K 2252（4201612）21636322052112216363220637360，C 中，K2352（824128）21636322052962163632201310，D 中，K 24 52（143062）21636322052408216363220 3 757160，则 K24K22K23K21，所以阅读量与性别有关联的可能性最大4(2014高考
5、课标全国卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013 年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bni1（ti t）（yi y）ni1（ti t）2，ayb t.解：(1)由所给数据计算得 t17(12345
6、67)4，y17(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，7i1（ti t）29410149287i1(ti t)(yi y)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，b7i1（ti t）（yi y）7i1（ti t）214280.5，a yb t4.30.542.3，所求回归方程为y0.5t2.3.(2)由(1)知，b0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程，得y0.592.36.8，故预测该地区 2015 年农村居民家
7、庭人均纯收入为 6.8 千元考点一 相关关系的判断命题点 画散点图1变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种关系(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为 非确定性正相关负相关2两个变量的线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做 回归直线3样本相关系数 rni1（xi x）（yi y）ni1（xi x）2ni1（yi y）2，用它来衡量两个变量间的线性相
8、关关系(1)当 r0 时，表明两个变量；(2)当 r0 时，表明两个变量；正相关负相关(3)r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常当|r|0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系 1对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i1，2，10)，得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i1，2，10)，得散点图 2.由这两个散点图可以判断()A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关D变量 x 与 y
9、 负相关，u 与 v 负相关解析：选 C.由图 1 可知，各点整体呈递减趋势，x 与 y 负相关；由图 2 可知，各点整体呈递增趋势，u 与 v 正相关2对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()Ar2r40r3r1 Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3解析：选 A.由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知 r2r40r32.706 时，有 90%的把握判定变量 x，y 有关联；当 K23.841 时，有 95%的把握判定变量 x，y 有关联；当 K26.635 时，有 99%的把握判定变量 x，y 有关联；当 K210.828 时，有
10、99.9%的把握判定变量 x，y 有关联 1大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞某高校文学社从男女学生中各抽取 50 名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下：阅读过莫言的作品数(篇)0252650517576100101130 男生36111812女生48131510(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率；(2)对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？非常了解 一般了解总计 男生女生总计附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd
11、）P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.050.010 k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635 解：(1)由抽样调查得阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 1118121315105050 79100，据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 79100.(2)非常了解一般了解总计 男生302050 女生252550 总计5545100 根据列联表数据得 K2100（30252025）2505055451.0101.323，所以没有 75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关2(2017东北三省三校一模)微
12、信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 22 列联表：青年人中年人总计 经常使用微信不经常使用微信总计(2)由列联表中所得数据判断，是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用
13、分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6人，从这 6 人中任选 2 人，求选出的 2 人均是青年人的概率附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）P(K2k)0.0100.001 k6.63510.828 解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有 20090%180 人，经常使用微信的有 18060120 人，其中青年人有 1202380 人，使用微信的人中青年人有 18075%135 人，所以 22 列联表：青年人中年人总计 经常使用微信8040120 不经常使用微信55560 总计13545180(2)将列联表中数据代入公式可得：K2180（8055540）212
14、0601354513.333，由于 13.33310.828，所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”(3)从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，其中，青年人有 8012064 人，中年人有 4012062 人，记 4 名青年人的编号分别为 1，2，3，4，2 名中年人的编号分别为 5，6，则从这 6 人中任选 2 人的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共 15 个，其中选出的 2 人均是青年人的基本事件有(1，2)，(1，3
15、)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 个，故所求事件的概率为 61525.(1)解决一般的独立性检验问题，首先由所给 22 列联表确定 a，b，c，d，n 的值，然后根据统计量 K2 的计算公式确定 K2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联(2)课本中表格所列举的概率 P 指的是犯错的最大概率化解独立性检验问题的诀窍独立性检验是对生活中两个相关变量作出判断的把握度的重要方法，能帮助我们对事情作出判断典例 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如表所示的列联表.优秀非优秀总计 甲班10乙班30合计10
16、5已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到 6 号或 10 号的概率分析 第(1)问，由题易知成绩优秀的概率是27，则成绩优秀的学生数是 30，成绩非优秀的学生数是 75，据此即可以完成列联表；第(2)问可按照独立性检验的原理进行判断；第(3)问可列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数，按照古典概
17、型的概率公式进行计算 解析(1)列联表如下所示：优秀非优秀总计 甲班104555 乙班203050 合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到 k105（10302045）2555030756.1093.841，因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”(3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(6，6)，共 36 个事件 A 包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，共 8 个，故 P(A)83629.通性通法 独立性检
18、验的基本思想 它类似于反证法，要确定“两个变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个变量没有关 系”成 立，在 该 假 设 下 构 造 的 随 机 变 量K2 n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）应该很小，如果结果很大，则在一定程度上说明假设不合理，即认为两个变量在一定程度上有关这种检验方法可靠吗？实际上这种方法仍然是用样本去估计总体，推断可能正确，也可能错误但我们只要科学合理地去抽样，那么犯错的可能性就很小了，如果 K2 检验中 K26.635，则说明我们犯错的概率仅为1%，这正是统计方法的魅力所在所以利用 K2 进行独立性检验，可以对推断正确性的概
19、率作出估计，样本量 n 越大，这个估计越准确在中学生综合素质评价某个维度的测试中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表 1：男生等级优秀合格尚待改进 频数15x5表 2：女生等级优秀合格尚待改进 频数153y(1)从表 2 的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”男生女生总
20、计 优秀非优秀总计参考数据与公式：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）.其中 nabcd.临界值表：P(K2k0)0.100.050.01 k02.7063.8416.635 解：(1)设从高一年级男生中抽出 m 人，则 m50045500400，解得 m25，所以 x25205，y20182.表 2 中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 a，b，c，尚待改进的 2 人为 A，B，则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共 10 种 设事件
21、 C 表示“从表 2 的非优秀学生中随机选取 2 人，恰有1 人测评等级为合格”，则 C 的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共 6 种 所以 P(C)61035，故所求概率为35.(2)22 列联表如下：男生女生总计 优秀151530 非优秀10515 总计252045 因为 10.90.1，P(K22.706)0.10，而 K2 45（1551510）23015252045152523015252098 1.1252.706，所以没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”1考前必记(1)两个变量相关关系的概念(2)两个变量的线性回归方程及最小二乘法(3)22 列联表(4)独立性检验的基本思想2答题指导(1)看到判断两个变量间的相关关系，想到作散点图(2)看到求线性回归方程，想到最小二乘法及公式(3)看到求两个变量的把握度，想到独立性检验，首先列出22 列联表，准确地代入公式 K2，并根据 K2 的观测值与相应概率作出判断课时规范训练
