1、5简单复合函数的求导法则授课提示：对应学生用书第21页自主梳理一、复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb.给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作_，其中_为中间变量二、复合函数的求导法则复合函数yf(x)的导数为：y(x)f(x)_.双基自测1函数y(3x4)2的导数是()A4(3x2)B6xC6x(3x4) D6(3x4)2函数ye2x4在x2处的切线方程为()A2xy30B2xy30Cexy2e10Dexy2e103已知函数f(x)(2x1)2的导数为f(x)，则f(1)()
2、A1 B2C3 D44函数ycos的导数为_5函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为_自主梳理一、yf(x)u二、f(u)(x)双基自测1Dy(3x4)22(3x4)36(3x4)2Ay(e2x4)e2x4(2x4)2e2x4，所以k2e2242.把x2代入ye2x4，得y1，所以切点为(2,1)所以函数ye2x4在x2处的切线方程为y12(x2)，所以2xy30.3Df(x)2(2x1)28x4，则f(1)8144.43sinysin(3)3sin.510f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.授课提示：对应学生用书第22页探究一复合函数的导数运算例1求下列函数的
3、导数：(1)y(3x2)2；(2)yln(6x4)；(3)ye2x1；(4)y；(5)ysin(3x)；(6)ycos2x.解析(1)y2(3x2)(3x2)6(3x2)18x12.(2)y(6x4).(3)ye2x1(2x1)2e2x1.(4)y(2x1) .(5)ycos(3x)(3x)3cos(3x)(6)设yu2，ucos x，则yxyuux2u(sin x)2sin xcos xsin 2x.复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时
4、需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数1求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin x2；(3)ysin2(2x)；(4)y .解析：(1)令u13x，则yu4，yyuux4u5(13x)12u5.(2)令ux2，则ysin u，所以ycos uucos x22x2xcos x2.(3)令yu2，usin v，v2x，则yyuuvvx2ucos v22sin(2x)cos(2x)22sin(4x)(4)令u1x2，则yu，yu(1x2) .探究二复合函数导数的综合问题例2某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)3sin(0t2
5、4)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t18时的导数，并解释它的实际意义解析设f(x)3sin x，x(t)t.由复合函数求导法则得s(t)f(x)(t)3cos xcos.将t18代入s(t)，得s(18)cos(m/h)它表示当t18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况2放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(
6、t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克B75ln 2太贝克C150ln 2太贝克 D150太贝克解析：M(t)M02ln 2，M(30)M0ln 210ln 2，M0600.M(t)6002，M(60)60022150(太贝克)答案：D对复合函数求导因层次不清而致误例3函数ysinnxcos nx的导数为_解析y(sinnx)cos nxsinnx(cos nx)nsinn1x(sin x)cos nxsinnx(sin nx)(nx)nsinn1xcos xcos nxsinnxsin nxnnsinn1x(cos xcos nxsin xsin nx)nsinn1xcos(n1)x答案nsinn1xcos(n1)x错因与防范本题解答过程中对cos nx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误对较复杂函数求异时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明
