1、第二章 函数单元整合1.%6#9#￥56%(2020河北衡水中学高一月考)已知函数f(x)的定义域为0,2,则函数y=f(2x)x的定义域为()。A.x|0x4B.x|0x4C.x|0x1D.x|0x1答案：D解析：因为函数f(x)的定义域为0,2,所以02x2,所以0x1,所以f(2x)的定义域为0,1,则函数y=f(2x)x的定义域是x|01)为R上的减函数,则实数a的取值范围是()。A.(4,+)B.4,+)C.4,6D.(0,+)答案：C解析：因为函数f(x)=x2-a2x+8(x1),ax(x1)为R上的减函数,所以y=x2-a2x+8(x1),y=ax(x1)是减函数,且当x=1时
2、,9-a2a,故只需满足1a4,a0,9-a2a,解得4a6。4.%638￥#￥#6%(2020河北武邑中学月考)已知函数f(x)=x2+3x(x0),g(x)(x0)为奇函数,则f(g(-1)=。答案：-28解析：函数f(x)=x2+3x(x0),g(x)(x0)为奇函数,f(-x)=-f(x)。当x0,f(-x)=x2-3x,f(x)=-x2+3x,g(x)=-x2+3x,f(g(-1)=f(-4)=-16-12=-28。5.%23￥87%(2020湖北黄冈中学月考)已知f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,且当x(-,0时,g(x)单调递增,则不等式f(2x-1)-f(x
3、+2)x-3的解集为()。A.(3,+)B.3,+)C.(-,3D.(-,3)答案：B解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,所以g(-x)=f(-x)+x=-f(x)-x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数。因为当x(-,0)时,g(x)单调递增,所以函数g(x)是R上的单调递增函数,因为f(2x-1)-f(x+2)x-3,所以f(2x-1)-(2x-1)f(x+2)-(x+2),即g(2x-1)g(x+2),所以2x-1x+2,解得x3,所以原不等式的解集为3,+)。6.%*5*01*6%(2020辽宁省实验中学高一期中)定义在R上的奇函数f(x)满足f12+x=
4、f12-x,f(x)在区间-12,0上单调递增,则()。A.f(0.3)f(2)f(2)B.f(2)f(0.3)f(2)C.f(0.3)f(2)f(2)D.f(2)f(2)0。因为f(x)的图像关于直线x=12对称,所以f(2)=f(1-2)0,所以f(2)f(2)0时,f(x)=x2-2x+1。若当x-2,-12时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为()。A.13B.12C.34D.1答案：D解析：当x0时,f(x)=(x-1)2,当x-2,-12时,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,由y=f(x)的图像关于y轴对称知f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=(x+1)2
5、,x-2,-12,结合二次函数的性质,可得x-2,-12时,f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(-1)=0。nf(x)m恒成立,n0,m1,m-n1。8.%￥51#05*%(2020浙江师大附中高一期中)设f(x)是连续的偶函数,且当x0时是单调函数,则满足f(2x)=fx+1x+4的所有x之和为()。A.-92B.-72C.-8D.8答案：C解析：f(x)为偶函数,f(2x)=f(-2x)。当x0时,f(x)是单调函数,又满足f(2x)=fx+1x+4,2x=x+1x+4或-2x=x+1x+4,即2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,两个方程都有解。x1+x2=-72,
6、x3+x4=-92,x1+x2+x3+x4=-72-92=-8。9.%1￥*15#0%(2020河北衡水中学高一月考)已知定义在R上的函数f(x)在(-,-4)上是减函数,若g(x)=f(x-4)是奇函数,且g(4)=0,则不等式f(x)0的解集是()。A.(-,-8(-4,0B.-8,-4)0,+)C.-8,-40,+)D.-8,0答案：C解析：函数f(x)向右平移4个单位,得到f(x-4)。g(x)=f(x-4)是奇函数,g(x)的图像关于原点对称,则f(x)的图像关于(-4,0)对称,且g(0)=f(-4)=0。函数f(x)在(-,-4)上是减函数,f(x)在(-4,+)上是减函数。g(
7、4)=0,g(-4)=g(4)=0,则f(-8)=f(0)=0,则f(x)的草图如图所示,则不等式f(x)0的解集是-8,-40,+)。10.%#￥933￥1%(2020河南南阳高一检测)已知二次函数f(x)的图像过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值74。(1)求函数f(x)的解析式;答案：解:由题意知,二次函数图像的对称轴为直线x=32,又最小值是74,则可设f(x)=ax-322+74(a0),又图像过点(0,4),a0-322+74=4,解得a=1,f(x)=x-322+74=x2-3x+4。(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间0,1上的最小值,
8、其中tR;答案：由(1)得h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图像的对称轴为直线x=t。当t0时,函数h(x)在0,1上单调递增,最小值为h(0)=4;当0t1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;当t1时,函数h(x)在0,1上单调递减,最小值为h(1)=5-2t。所以h(x)min=4,t0,4-t2,0t2x+m对x-1,3恒成立,所以mf(x)-2x=x2-5x+4恒成立,即mf(x)-2xmin。设g(x)=x2-5x+4,则g(x)在-1,3上的最小值为g52=-94,m-94。11.%3#68￥#4%(2020天津实验中学高一期
9、中)函数f(x)=x+ax2+bx+1是定义在-1,1上的奇函数。(1)确定函数f(x)的解析式;答案：解:因为f(x)是定义在-1,1上的奇函数,所以f(0)=0,f(x)=-f(-x),即a=0,x+ax2+bx+1=-x+ax2-bx+1,所以a=0,b=0,所以f(x)=xx2+1。(2)用定义证明f(x)的单调性;答案：证明:任取-1x1x21,则x1x21,f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)0,所以f(x)在-1,1上单调递增。(3)解不等式f(t-1)+f(t)0。答案：解:因为f(t-1)+f(t)
10、0,所以f(t-1)f(-t)。因为f(x)在-1,1上单调递增,所以-1t-1-t1,解得0t12。所以不等式的解集为t0t12。1.%6#3*22￥%(2019全国高考)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x(x-1)。若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()。A.-,94B.-,73C.-,52D.-,83答案：B解析：当-1x0时,0x+11,则f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x;当1x2时,0x-11,则f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2);当2x3时,0x-21,则f(x)=2f(x-1)=
11、22f(x-2)=22(x-2)(x-3),由此可得f(x)=12(x+1)x,-1x0,x(x-1),0x1,2(x-1)(x-2),1x2,22(x-2)(x-3),2x3,由此作出函数f(x)的图像,如图所示。由图可知当22,排除C,故选D。3.%017*#3*%(2018全国高考)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()。A.-50B.0C.2D.50答案：C解析：f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,f(-x)=-f(x),且f(0)=0。f(1-x)=f(1+x),f(x)=f(2-x
12、),f(-x)=f(2+x),f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),f(x)是周期函数,且一个周期为4,f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0+(-2)+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(50)=120+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C。4.%￥*#7318%(2017全国高考)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数。若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()。
13、A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3答案：D解析：函数f(x)为奇函数,且f(1)=-1,f(-1)=-f(1)=1,由-1f(x-2)1,得f(1)f(x-2)f(-1),又函数f(x)在(-,+)单调递减,-1x-21,1x3,故选D。5.%*13￥0#5%(2017浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()。A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案：B解析： f(x)=x+a22-a24+b,当0-a21时,f(x)min=m=f-a2=-a24+b,f(x)max=M=
14、maxf(0),f(1)=maxb,1+a+b,M-m=maxa24,1+a+a24,与a有关,与b无关;当-a21时,f(x)在0,1上单调递减,M-m=f(0)-f(1)=-1-a,与a有关,与b无关。综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选B。6.%4#5￥51￥%(2019江苏高考)函数y=7+6x-x2的定义域是。答案：-1,7解析：要使函数有意义,则7+6x-x20,解得-1x7,则函数的定义域是-1,7。7.%#3#9￥00%(天津高考改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增。若实数a满足f(|a-1|)f-12,则a的取值范围是。答案：12,32解
15、析：因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,所以f(x)在区间(0,+)上单调递减。又f(|a-1|)f-12,f-12=f12,故|a-1|12,所以12a32。8.%32￥0*4%(四川高考改编)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=1x,则f-52+f(1)=。答案：-2解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0。又f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(x),所以f(x+1)=-f(1-x),令x=0,得f(1)=-f(1),所以f(1)=0。f-52=f-2-12=f-12=-f12=-2,所以f-52+f(1)=-2。9.%#8#4#04#%(江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1)上,f(x)=x+a,-1x0,25-x,0x1,其中aR。若f-52=f92,则f(5a)的值是。答案：-25解析：由题意可得f-52=f-12=-12+a, f92=f12=25-12=110,则-12+a=110,a=35,故f(5a)=f(3)=f(-1)=-1+35=-25。