1、2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1_2设集合，则_3若函数（且）的反函数的图像过点，则_4已知一组数据，的平均数是，则这组数据的方差是_5在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成的角的大小为_（结果用反三角函数值表示）6若
2、圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为_开始，输出结束是否7已知，则_8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_9过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为_10甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人经过次传球后，球仍在甲手中的概率是_11已知直角梯形 ，是腰上的动点，则的最小值为_12已知，若，则_13对一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为取整函数若，为数列的前项和，则_14对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭如果函数（）在上封闭，那么实数的取值范围是_二选择题（本大题
3、满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分15“函数为偶函数”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有个不同的公共点，则这两个平面重合；直线，若与共面，与共面，则与共面；若直线上有一点在平面外，则在平面外其中错误命题的个数是（ ）A B C D17已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则等于（ ）A B C D18已知数列的通项公式为，则数列（ ）A有最大项，没有最小项 B有最小
4、项，没有最大项C既有最大项又有最小项 D既没有最大项也没有最小项三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液现将此容器倾斜一定角度（图），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图、均为容器的纵截面）（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知，
5、设，记函数（1）求函数取最小值时的取值范围；（2）设的角，所对的边分别为，若，求的面积的最大值21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数（且）是奇函数（1）求常数的值；（2）若，且函数在区间上的最小值为，求实数的值22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明
6、理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设复数，其中，为虚数单位，复数在复平面上对应的点为（1）求复数，的值；（2）是否存在正整数使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；（3）求数列的前项之和2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）参考答案及评分标准一填空题（每题4分，满分56分）1 2（或） 3 45 6 7 89 10 1112 13 14二选择题（每题5分，满分20分）15B 16C 17A 18C三解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19本题12分，第1小题6分，第2小题6分ABCD
7、ABCDEF（1）如图，当倾斜至上液面经过点时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大 （2分）解法一：此时，梯形的面积等于（）， （3分）因为，所以，即，解得， （5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是 （6分）解法二：此时，的面积等于图中没有液体部分的面积，即（）， （3分）因为，所以，即，解得， （5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是 （6分）（2）如图，当时，设上液面为，因为，所以点在线段上， （1分）此时，（）， （3分）剩余溶液的体积为（）， （4分）由题意，原来溶液的体积为，因为，所以倒出的溶液不满 （5分）所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求
8、（6分）20本题14分，第1小题7分，第2小题7分（1） （3分）当取最小值时，（6分）所以，所求的取值集合是 （7分）（2）由，得， （1分）因为，所以，所以， （3分）在中，由余弦定理， （4分）得，即， （5分）所以的面积， （6分）因此的面积的最大值为 （7分）21本题14分，第1小题6分，第2小题8分（1）解法一：函数的定义域为，因为是奇函数，所以， （3分）当时，是奇函数所以，所求的值为 （6分）解法二：函数的定义域为，由题意，对任意， （2分）即， （4分）因为，所以， （6分）（2）由，得，解得或（舍） （2分）所以，令，则是关于的增函数，（2分）当时，则当时，解得； （5分）
9、当时，则当时，（舍去）（8分）综上，（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分（1）设，由题意， （2分）化简得， （3分）所以，动点的轨迹的方程为 （4分）（2）设，则， （2分）当，即时，当时，取最小值，解得，此时，故舍去 （4分）当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍） （6分）综上，（3）解法一：设，则由，得，（1分），因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）当时，则四边形为矩形，则，由，得，解得， （3分）当时，直线的方向向量为，直线的方程为，原点到直线的距离为所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以
10、，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法二：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）直线的方程为，点到直线的距离，的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以， ，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法三：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）23本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分（1），（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若，则存在实数，使得，故，即， （3分）又，故，即为实数， （5分）故为的倍数，即， （6分）（3）因为，故， （2分）所以， （3分）又， （6分）而， （7分）所以数列的前项之和为（8分）
