1、考点研析 题组冲关 课时规范训练 考点一 极坐标方程与直角坐标方程互化命题点 极坐标方程1.直角坐标与极坐标的互化 把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yx（x0）.提醒：(1)在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|12|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路 2直线
2、的极坐标方程 过点 M(0，0)，且与极轴所成的角为 的直线方程为 sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：和；(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点 Mb，2 且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程 圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆的方程为 2210cos(0)20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为 r：r；(2)圆心位于 M(r，0)，半径为 r：2rcos；(3)圆心位于 Mr，2，半径为 r：2rsin.1在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
3、 C 的极坐标方程为 cos3 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解：(1)cos3 1，cos cos3sin sin31.12x 32 y1.即曲线 C 的直角坐标方程为 x 3y20.令 y0，则 x2；令 x0，则 y2 33.M(2，0)，N0，2 33.M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为2 33，2.(2)M，N 连线的中点 P 的直角坐标为1，33，P 的极角为 6.直线 OP 的极坐标方程为 6(R)2在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标
4、方程为 sin4 1，圆 C 的圆心的极坐标是 C1，4，圆的半径为 1.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长解：(1)设 O 为极点，OD 为圆 C 的直径，A(，)为圆 C 上的一个动点，则AOD4 或AOD4，OAODcos4 或 OAODcos4，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos4.(2)由 sin4 1，得 22(sin cos)1，直线 l 的直角坐标方程为 xy 20，又圆心 C 的直角坐标为22，22 满足直线 l 的方程，直线 l 过圆 C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径 2.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只需把公式 xcos
5、 及 ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2 的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验，以免出现不等价变形考点二 参数方程与普通方程的互化命题点 参数方程1直线的参数方程 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin(t 为参数)2圆的参数方程圆 心 在 点 M(x0，y0)，半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为xx0rcos ，yy0rsin(为参数
6、，00)的参数方程为x2pt2，y2pt.(t 为参数)1.如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，求圆 x2y2x0 的参数方程解：圆的半径为12，记圆心为 C12，0，连接 CP，则PCx2，故 xP1212cos 2cos2，yP12sin 2sin cos(为参数)所以圆的参数方程为xcos2，ysin cos(为参数)2(2015高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin .(1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C
7、 的距离最小时，求 P的直角坐标解：(1)由 2 3sin，得 22 3sin，从而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.(2)设 P312t，32 t，又 C(0，3)，则|PC|312t 232 t 3 2 t212，故当 t0 时，|PC|取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为(3，0)由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一般有三种情况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参；(2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有 sin，另一个方程一边只含有 cos，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围课时规范训练