1、 341基本不等式（1） 学校：临清二中 学科：数学 编写人：郑敏杰 审稿人: 丁良之 1 【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它
2、看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。 系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形的面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当
3、时，等号成立。提问5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 所以 注意强调 当且仅当时, (2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证: 即证 要证,只要证 要证,只要证 ( - ) 显然, 是成立的,当且仅当时, 的等号成立(3)观察图形3.4-3,得到不等式的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究：课本中的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的
4、半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是（ ） 答案 B C例题分析：(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.变式训练： 0，当取何值时+有最小值，最小值是多少 解析：因为0
5、， + 2=2 当且仅当=时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。 当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（ ）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值12下面给出的解答中，正确的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，当x1时，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，则x3的最小值为（ ）.（A）
6、4 （B）7 （C）8 （D）114.设函数f（x）2x1（x0），则f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A 基本不等式 第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。二、预习内容一般地，对于任意实数 、，我们有，当 ，等号成立。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容 课内探究学案教学目标 ，不等号“”取等号的条件
7、是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证; 强调：当且仅当时, 特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导 证明: 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究2：课本中的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释 练习1若且，则下列四个数中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正数，则三个数的大小
8、顺序是（ ） 答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1)2； ( 2） 0，当取何值时+有最小值，最小值是多少 分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 1正2定3相等变式训练：1已知x，则函数f（x）4x的最大值是多少？ 2 证明：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 分析：注意凑位法的使用。 注意基本不等式的用法。 当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（ ）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它
9、们的和有最小值2下面给出的解答中，正确的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，当x1时，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，则x3的最小值为（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）114.设函数f（x）2x1（x0），则f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高 1 已知 如果积 如果和拓展探究2. 设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ，然后化简利用基本不
10、等式。 3.4.2 基本不等式的应用学校：临清二中 学科：数学 编写人：郑敏杰 审稿人 丁良之【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。讲解：已
11、知都是正数，如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、 新课讲授例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）由 ，可得 2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱
12、笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由 可得 ,可得等号当且仅当 点评：此题用到了 如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练： 用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为，则宽为，矩形面，且由（当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是
13、多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得 当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。解：设圆桶的底半径为分米，高为分
14、米，圆桶的成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得=当且仅当时，取“=”号。当1（分米），（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1求最值常用的不等式：，2注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1 下列函数中，最小值为4的是： （ ） 2. 设的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 3函数的最大值为 .4建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.5某食品厂定
15、期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5 时，有最小值，基本不等式的应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最 2如果和是定值，那么当时，积有最 3若，则=_时,有最小值，最小值为_.4.若实数a、b满足a+b2,则3a+3b的最小值是_.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑
16、惑点疑惑内容 课内探究学案一、学习目标 1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心. 教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件二、学习过程例题分析：例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽
17、取何值时两者乘积最大 解：变式训练：1用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？ 2一份印刷品的排版面积（矩形）为它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？变式训练 答案 1 时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是和 例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。答案：底面一边长为40时，总
18、造价最低2976000。变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元. 答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有（3 ）最大值16 最小值 最小值16最大值2已知且满足,求的最小值.416 20 14183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值， 课后复习学案1已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值 2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?