1、章末总结网络建构1.集合中的元素具有确定性.()2.任何一个集合有两个或两个以上的子集.()3.ABA,AAB.()4.若非空数集f:AB能构成函数,且该函数的值域是C,则C=B.()5.函数一定是映射,但映射不一定是函数.()6.在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.()7.任何函数都具有单调性.()知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”)8.奇偶函数的定义域关于原点对称.()9.若y=f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0.()10.若函数y=f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).()11.奇函数在关于原点对称的两个区间上
2、单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.()12.若一个图形关于y轴对称,则它一定是偶函数的图象.()题型归纳素养提升真题体验素养升级题型归纳素养提升题型一 集合间的关系及运算典例1 已知集合A=x|2x5,B=x|-2m+1xm,全集为R.(1)若m=3,求AB和(RA)B;解:(1)因为m=3,所以B=x|-5x3,又因为A=x|2x5.所以RA=x|x5,AB=x|-5x5,所以(RA)B=x|-5x2.(2)若AB=A,求m的取值范围.规律方法(1)集合间运算的常用技巧:借助于数轴;利用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事项:当涉及集合间关系和运算的有关问题,如
3、AB,AB=,AB=B等时,都有可能涉及集合A或B为空集的情况.由集合间关系或运算求参数时,要注意端点“=”的取舍.题型二 函数的概念典例2(1)设M=x|0 x2,N=y|0y2,给出下列四个图象,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()答案:(1)B答案:(2)-1,2)(2,+)(3)若关于x的函数f(2x+3)的定义域是x|-4x5,则关于x的函数f(2x-3)的定义域是.解析:(3)因为f(2x+3)的定义域是-4,5),所以-52x+313,故f(x)的定义域为-5,13),则函数f(2x-3)的定义域满足-52x-313.所以-1x8,所以f(2x-3)的定义域是-1,8).
4、答案:(3)-1,8)规律方法(1)判断某一对应关系是否为函数的步骤:A,B为非空数集;A中任一元素在B中有元素与之对应;B中与A中元素对应的元素唯一.满足上述三条,则对应关系是函数关系.(2)求函数的定义域,对于已知函数解析式求定义域问题,就是使解析式有意义的自变量x的范围;复合函数求定义域要明确中间变量是什么,定义域仍然是解析式中自变量的取值范围.题型三 求函数解析式典例3(1)已知2f(x-1)-f(1-x)=2x2-1,求二次函数f(x)的解析式;规律方法(1)已知函数解析式的特征,求函数解析式一般利用待定系数法,本题(1)中由于函数为二次函数,因此可设为f(x)=ax2+bx+c(a
5、0),利用待定系数法求a,b,c.(2)本题(2)中的求解可用换元法,但要注意新元的范围.题型四 求函数的最值典例4(2019江苏省常熟市高一上期中)已知f(x)是二次函数,f(0)=f(5)=0,且f(-1)=12.(1)求f(x)的解析式;解:(1)因为f(x)是二次函数,且f(0)=f(5)=0,所以设f(x)=ax(x-5)(a0),又因为f(-1)=6a=12,所以a=2,所以f(x)=2x(x-5)=2x2-10 x.(2)求f(x)在0,m的最小值g(m);(3)对(2)中的g(m),求不等式g(t)g(2t-1)的解.规律方法求二次函数的最值或值域,基本的方法是配方法,当限定在
6、某个闭区间上时,关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置,结合函数图象确定该函数的单调性,最大值或最小值是在端点处取得,还是在顶点处取得.求解二次函数在给定区间的最值问题,可画出二次函数的图象帮助分析问题.(2)证明函数f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(2t)f(x2)或f(x1)4x+m恒成立,求m的取值范围.解:(2)由(1)及f(2x)4x+m,得4x2+8x+6m,令g(x)=4x2+8x+6,x-3,0,所以当x=-1时,g(x)min=g(-1)=2,从而要使不等式f(2x)4x+m恒成立,则m0的解集是.错解:因为f(x)0且f(
7、2 019)=0,所以f(x)f(2 019).又f(x)是(0,+)上的增函数.所以x2 019.纠错:由于y=f(x)是R上的偶函数,因此函数y=f(x)在(-,0)上是减函数,上述求解过程忽视了偶函数的性质.正解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).又f(x)在(0,+)上是增函数且f(2 019)=0.所以f(x)f(2 019),即f(|x|)f(2 019).所以|x|2 019.所以x2 019或x0,则 RA 等于()(A)x|-1x2(B)x|-1x2(C)x|x2(D)x|x-1x|x2B解析:因为A=x|x2-x-20,所以RA=x|x2-
8、x-20=x|-1x2,故选B.4.(2018天津卷)设集合A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,C=xR|-1x2,则(AB)C等于()(A)-1,1(B)0,1(C)-1,0,1(D)2,3,4C解析:因为A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,所以AB=-1,0,1,2,3,4.又C=xR|-1x2,所以(AB)C=-1,0,1.故选C.5.(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x取值范围是()(A)-2,2(B)-1,1(C)0,4(D)1,3D解析:因为f(x)是奇函数且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,所以-1f(x-2)1,即f(1)f(x-2)f(-1).又因为f(x)在(-,+)上单调递减,所以-1x-21,所以1x3.故选D.6.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.解析:因为x(-,0),f(x)=2x3+x2且为奇函数,所以f(-2)=2(-8)+4=-12,又因为f(-2)=-f(2)=-12,所以f(2)=12.答案:12