1、1 第二章导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值 课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数 f(x)=的最大值为()A.B.eC.e2D.答案 A解析令 f(x)=-=0,解得 x=e.当 xe 时,f(x)0;当 0 x0.f(x)的极大值为f(e)=,且函数在定义域内只有一个极值,所以 f(x)max=.2.已知函数 f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且 f(x)g(x),则 f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)答案 A解析令 F(x)=f(x)-g(x),f(x)g(x)
2、,F(x)=f(x)-g(x)0 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,-1)C.-1,+)D.(-,-1答案 A解析 f(x)=ex-1,令 f(x)0,解得 x0,令 f(x)0,解得 x0 恒成立,则 1+a0,解得 a-1,故选 A.4.函数 f(x)=-x3+3x 在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数 a 的取值范围是()A.(-1,)B.(-1,2)C.(-1,2D.(1,4)2 答案 C解析由题意知 f(x)=3-3x2,令 f(x)0,解得-1x1,令 f(x)0,解得 x1,由此知函数在(-,-1)内单调递减,在(-1,1)内单调递增,在(1,+
3、)内单调递减,函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值-2.由题意知,-1(a2-12,a),即 a2-12-1a,解得-1a .又 f(a)f(-1),-10.由曲线 y=f(x)在 x=1 处与直线 y=-相切,得 -即 -解得 (2)由(1),得 f(x)=lnx-x2,定义域为(0,+).3 f(x)=-x=-.令 f(x)0,得 0 x1,令 f(x)1,所以 f(x)在 ,1 上单调递增,在(1,e上单调递减,所以 f(x)在 ,e 上的最大值为 f(1)=-.关键能力提升练8.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是()f(x)0 的解集是x|0 x0,可得(2x
4、-x2)ex0,ex0,2x-x20,0 x2,故正确;f(x)=ex(2-x2),由 f(x)=0,得 x=,由 f(x)或 x0,得-x,f(x)的单调减区间为(-,-),(,+),单调增区间为(-),f(x)的极大值为 f(),极小值为 f(-),故正确;当 x-时,f(x)1 时,函数 y=(ln x)2+aln x+1 的图象在直线 y=x 的下方,则实数 a 的取值范围是()A.(-,e)B.-,-C.-,-D.(-,e-2)4 答案 D解析由题意得(lnx)2+alnx+11),由 x1,得 lnx0,故 a1),则 t(x)=-0,故 t(x)在(1,+)内单调递减,故 t(x
5、)t(1)=0,即 t(x)0,解得 xe,令 g(x)0,解得 1xe,故 g(x)在(1,e)内单调递减,在(e,+)内单调递增,故 g(x)min=g(e)=e-2,故 abC.abD.a,b 的大小不能确定答案 A解析 f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1-,令 f(x)0,解得 0 x0,解得 x1,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,f(x)的最小值是 f(1)=1,故 a=1.g(x)=xex-lnx-x,定义域(0,+),g(x)=(x+1)ex-1=(xex-1),令 h(x)=xex-1,则 h(x)=(x+1)ex,h(x)在(0,+)内单调递增
6、,且 h(0)0,故存在 x0(0,1)使得 h(x)=0,即 x0 =1,即 x0+lnx0=0,当 x(0,x0)时,h(x)0,g(x)0,g(x)0,函数 g(x)单调递增,故当 x=x0时,函数 g(x)取得最小值 g(x0)=x0 -ln x0-x0=1-ln x0-x0=1,即 b=1,a=b.12.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时,t 的值为()A.1B.C.D.5 答案 D解析当 x=t 时,|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-lnt|(t0).令(t)=t2-lnt(t0),所以(t)=2t-
7、.所以当 t()时,(t)单调递减;当 t()时,(t)单调递增.所以当 t=时,(x)min=ln20,即|MN|min=(x)min.故|MN|取最小值时 t=.13.已知 a4x3+4x2+1 对任意 x-2,1都成立,则实数 a 的取值范围是 .答案(-,-15解析设 f(x)=4x3+4x2+1,x-2,1,则 f(x)=12x2+8x,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=-.所以在区间-2,-上,f(x)0,f(x)为增函数,在区间-,0 上,f(x)0,f(x)为增函数,因此在闭区间-2,1上,函数 f(x)在 x=-处取得极大值 f-,在 x=0 时函数取得极小值 f(0),
8、且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以 f(-2)=-15 是最小值,所以实数 a-15.14.已知函数 f(x)=,x1,3,且x1,x21,3,x1x2,-x2,-2 可化为 f(x1)-2x1f(x2)-2x2,可得函数 g(x)=f(x)-2x=-2x 在 x1,3内单调递减,g(x)=-20 在 x1,3上恒成立,即 a -在 x(1,3内恒成立,令 h(x)=-,x(1,3,6 则 h(x)=-0,解得 x ,令 f(x)0,解得 0 x1 时,g(x)0,故 g(x)在(1,+)内单调递增,所以 g(x)的最小值是 g(1)=1.因此 ag(x)min=g(1)=
9、1,故 a 的取值范围为(-,1.16.已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR),(1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值;(2)在(1)的条件下,当 x-2,6时,f(x)2|c|恒成立,求 c 的取值范围.解(1)f(x)=3x2-2ax+b,函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,-1,3 是方程 3x2-2ax+b=0 的两根.-(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2-9x+c,f(x)=3x2-6x-9.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6 f(x)
10、+0-0+f(x)c-2 极大值c+5 极小值c-27 c+54 而 f(-2)=c-2,f(6)=c+54,7 当 x-2,6时,f(x)的最大值为 c+54,要使 f(x)2|c|恒成立,只要 c+542|c|即可,当 c0 时,c+5454;当 c0 时,c+54-2c,c-18,c(-,-18)(54,+).故 c 的取值范围为(-,-18)(54,+).学科素养创新练17.设函数 y=f(x)在(a,b)上的导函数为 f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为 f(x),若在(a,b)上,f(x)0 恒成立,则称函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当 m2 时,f(x)=x3-mx2+2x+2 在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()A.既没有最大值,也没有最小值B.既有最大值,也有最小值C.有最大值,没有最小值D.没有最大值,有最小值答案 A解析 f(x)=x2-mx+2,f(x)=x-m;函数 f(x)在(-1,2)上是“凸函数”,f(x)=x-mx 在(-1,2)上恒成立,m2,又 m2,m=2.f(x)=x2-2x+2=(x-2)20,所以 f(x)在(-1,2)内单调递增,所以该函数在该区间上既没有最大值,也没有最小值.