1、新 20 版练 B1 数学人 B 版第三章单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一根弹簧原长 12 cm,它所挂重物质量不超过 10 kg,并且每挂重物 1 kg,就伸长 1.5 cm,挂重物的弹簧长度y(cm)与重物 x(kg)之间的函数关系式是()。A.y=1.5(x+12)(0 x10)B.y=1.5x+12(0 x10)C.y=1.5x+10(0 x10)D.y=1.5(x-12)(0 x10)答案：B 2.下列结论中正确的是()。A.y=在定义域内是减函数 B.y=(x-1)2 在(0,+)
2、上是增函数 C.y=-在(-,0)上是增函数 D.y=kx(k0)在(0,+)上是增函数 答案：C 解析：因为 y=的定义域是(-,0)(0,+),取 x1=-1,x2=2,显然 x1x2,但 f(x1)0 时是增函数,当 k0 时是减函数,也不正确。故应选 C。3.函数 y=-的定义域是()。A.-3,1 B.(-3,3)C.(-3,2)(2,3)D.-3,2)(2,3 答案：D 解析：定义域满足-3x2 或 20,若 x2y,则()。A.f(x)f(2y)B.f(x)f(2y)C.f(x)0,令 x=x1,y=-x2,则 -0,又因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 所以 -0,所以
3、函数 f(x)是定义在 R 上的增函数。因为 x2y,所以 f(x)f(2y),故选 A。5.设 f(x)=x3+4x-8,用二分法求方程 x3+4x-8=0 在(1,2)内的近似解的过程中,有 f(1)0,f(1.25)0,则该方程的根所在的区间为()。A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定 答案：B 解析：f(1.25)f(1.5)aa2,那么 0aa ,那么 a1;如果 a2a,那么-1a a,那么 axx2 的解为 0 xx 的解为-1x1,x2x 无解,x2 x 的解为x0 时,f(x)=x+,则 f(x)的单调减区间是()。A.(2,+)B.(,
4、+)C.(0,)D.(0,2)答案：C 解析：由 f(x)=x+的单调性得 f(x)在(0,)上为单调递减函数,故选 C。8.若函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)=x-1,则当 x0 B.f(x)0 答案：C 解析：当 x0,f(-x)=-x-1,由函数 f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),f(x)=x+1,f(x)f(-x)=-(x+1)20。9.定义两种运算:ab=-,ab=-,则函数 f(x)=-为()。A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数 答案：A 解析：由定义知 f(x)=-=-,由 4-x20 且|x-2|-20,得-2x0 或
5、0 x2,即函数 f(x)的定义域为x|-2x0 或 0 x2,关于原点对称;f(x)=-=-,f(-x)=-=-f(x),故 f(x)是奇函数。故选 A。10.若 ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以由零点存在性定理得两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,选 A。11.已知 f(-)=-,则 f(x)的解析式为()。A.f(x)=(x-1)B.f(x)=-(x-1)C.f(x)=(x-1)D.f(x)=-(x-1)答案：C 解析：令-=t,得 x=-,则 t-1,f(t)=-(-)(-)=,f(x)=(x-1)。故选 C。12.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人
6、推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表。那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为()。A.y=B.y=C.y=D.y=答案：B 解析：根据规定每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增加一名代表,即当余数分别为 7,8,9 时可以增选一名代表,也就是 x 要进一位,所以最小应该加 3。因此利用取整函数可表示为 y=。也可以用特殊取值法:若 x=56,y=5,排除 C,D;若 x=57,y=6,排除 A。故选 B。二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分
7、,共 20 分。将答案填在题中横线上)13.二次函数的图像过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为 。答案：f(x)=(x-2)2-1 解析：依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1,因为图像过点(0,1),所以 4a-1=1,所以 a=。所以 f(x)=(x-2)2-1。14.函数 f(x)=x2-2|x|的最小值为 。答案：-1 解析：f(x)=x2-2|x|,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),即 f(-x)=f(x),f(x)是偶函数。f(x)=x2-2|x|=-f(x)的图像如下:由图像可知:函数 f(x)的最小值为-1。15.已知 x
8、0,则 f(x)=+x 的最小值为 。答案：6 解析：x0,所以 f(x)=+x2 =6,当且仅当 x=,即 x=3 时取得最小值 6。16.设函数 f(x)=-则满足 f(x)+f(x-1)+f(x+1)0 的 x 的取值范围是 。答案：(0,+)解析：当 x-1x-1+x-1-1+x+1-10 x1不成立,当-10 x ,不成立;当 00 x0,得解集为(0,1;当 10 x0 解集为 x1,综上得 x 的取值范围是(0,+)。三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题 10 分)画出分段函数 y=f(x)=-的图像,并求 f(
9、2),f(-0.9),f()的值。答案：解:由题意画出分段函数 y=f(x)的图像如图所示。由分段函数的解析式可得 f(2)=2,f(-0.9)=-(-0.9)=0.9,f()=()=。18.(本题 12 分)求下列函数的单调区间。(1)f(x)=-(x-2,4);答案：已知函数的定义域为 4-x0,即(-,4,而-2,4为其定义域的子区间,又 y=-与 y=4-x 在-2,4上的单调性相同,且均为减函数,故-2,4为函数的单调递减区间。(2)y=。答案：函数 y=的定义域为(-,-1)(-1,+)。函数 y=在(-,-1)上是减函数,在(-1,+)上是减函数,函数 y=的单调递减区间是(-,
10、-1),(-1,+)。19.(本题 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)=x2-2x。(1)求函数 f(x)的解析式,并画出函数 f(x)的图像;答案：由 x0 时,f(x)=x2-2x,当 x0,f(-x)=x2+2x,又函数 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=x2+2x,故函数的解析式为 f(x)=-。画出图像如图所示。(2)根据图像写出单调区间和值域。图 3-11 答案：由函数的图像可知,函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0,(1,+)。单调递减区间为(-,-1,(0,1,函数 f(x)的值域为-1,+)。20.(本题 12 分)已知函数
11、 f(x)对任意的 a,bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当 x0 时,f(x)1。(1)判断并证明 f(x)的单调性;答案：f(a+b)=f(a)+f(b)-1,令 a=b=0,f(0)=f(0)+f(0)-1,f(0)=1,令 a=x,b=-x,f(0)=f(x)+f(-x)-1,f(-x)=2-f(x),令 x10,f(x2-x1)1,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1f(x1),f(x2)f(x1),故函数在 R 上单调递增。(2)若 f(4)=3,解不等式 f(3m2-m-2)2。答案：f(4)=2f(2)-1=3,f(2)=2,f
12、(3m2-m-2)f(2),3m2-m-22,-1m 。即不等式解集为 -。21.(本题 12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车?答案：当每辆车的月租金为 3 600 元时,未租出的车辆数为 -=12(辆)。所以这时租出的车辆数为 100-12=88(辆)。(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益为多少元?答案：设每辆车的月租金
13、定为 x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)=(-)(x-150)-(-)50,所以 f(x)=-x2+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050。所以当 x=4 050 时,f(x)最大,最大值为 307 050,即当每辆车的月租金为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元。22.(本题 12 分)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=f(2)=2,f(1)=1。(1)求函数 f(x)的解析式;答案：由题意可设 f(x)=a(x-1)2+1,因为 f(0)=2,所以 a(0-1)2+1=2,解得 a=1,即 f(x)=(x-1)2+1=x2-2x+2。(2)当 x-1,2时,求 y=f(x)的值域;答案：因为 x-1,2,f(x)在-1,1上为减函数,f(x)在1,2为增函数。所以当 x=1 时,ymin=1。当 x=-1 时,ymax=5,所以 y=f(x)的值域是1,5。(3)设 h(x)=f(x)-mx 在1,3上是单调函数,求实数 m 的取值范围。答案：因为 h(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2 在1,3上是单调函数,所以 1 或 3,即 m0 或 m4。故当 m0 或 m4 时,h(x)=f(x)-mx 在1,3上是单调函数。