1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 4 课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲点击1.判定直线与圆、圆与圆的位置关系.2.利用直线与圆、圆与圆的位置关系求字母参数.3.根据位置关系求弦长、求直线、求圆的方程.1(2016高考全国乙卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为解析：圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为 C(0，a)，半径 r a22，所以圆心到直线 xy2a0 的距离为|a2a|2|a|2，所以|a|22(3)2(a22)2，解得 a22，所以圆 C
2、的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4.答案：42(2016高考全国丙卷)已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点则|CD|解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，0)，D(x4，0)，由 x 3y60，得 x 3y6，代入圆的方程，并整理，得 y23 3y60，解得 y12 3，y2 3，所以 x10，x23，所以直线 AC的方程为 y2 3 3x，令 y0 得 x32，直线 BD 的方程为y 3 3(x3)，令 y0 得 x42，则|CD|x3x4|4.答案：43(2014高考课标全国卷)
3、设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是()A1，1 B.12，12C 2，2D 22，22解析：选 A.法一：过 M 作圆 O 的两条切线 MA、MB，切点分别为 A、B，若在圆 O 上存在点 N，使OMN45，则OMBOMN45，所以AMB90，所以1x01，故选 A.法二：过 O 作 OPMN 于 P，则|OP|OM|sin 451，|OM|2，即 x201 2，x201，即1x01，故选 A.4(2015高考课标全国卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求
4、k 的取值范围；(2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k2 1，解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入圆 C 的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以 x1x24（1k）1k2，x1x271k2.OM ON x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 4k（1k）1k28.由题设可得4k（1k）1k2812，解得 k1，所以 l 的方程为yx
5、1.故圆 C 的圆心(2，3)在 l 上，所以|MN|2.考点一 直线与圆位置关系判定及应用命题点 几何法与代数法1设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系 几何法代数法 相交d0 相切dr0 相离dr 22，直线与圆相离2(2017桂林中学月考)若直线xayb1(a0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长，则 ab 的取值范围是()A.，18B0，18C(0，8D8，)解析：选 D.由 x2y24x
6、2y80 配方得(x2)2(y1)213，所以圆心坐标为(2，1)若直线xayb1(a0，b0)始终平分圆的周长，则直线xayb1(a0，b0)必经过点(2，1)，所以2a1b1.所以 12a1b22ab，即 ab8，当且仅当2a1b12，即 a4，b2 时取等号故 ab 的取值范围是8，)3直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21分成长度相等的四段弧，则 a2b2解析：依题意，不妨设直线 yxa 与单位圆相交于 A，B两点，则AOB90.如图，此时 a1，b1，满足题意，所以 a2b22.答案：24若经过点 A(4，0)的直线 l 与圆(x2)2y21 有公共点，则直线
7、 l 的斜率的取值范围为解析：由题可设直线方程为 yk(x4)，即：kxy4k0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：d|2k04k|k211，解得：33 k 33.答案：33，33直线与圆的位置关系要注意直线的特殊性如直线是否经过定点，斜率 k0 或不存在；点是在圆上，还是圆外或圆内，注意利用方程思想时，方程根的正负与范围等考点二 圆的切线、弦长问题命题点 1 切点与圆心的连线1过圆上一点(x0，y0)的圆切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为1k，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 xx0.2过圆外一点(
8、x0，y0)的圆的切线方程的求法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证 1(2017洛阳三校联考)已知圆 C：(x1)2(y1)21 与 x轴切于 A 点，与 y 轴切与 B 点，设劣弧 AB 的中点为 M，则过点M 的圆 C 的切线方程是()Ayx2 2Byx1 12Cyx2 2Dyx1 2解析：选 A.由已知得 A(1，0)，B(0，1)，则易得 kAB1，M22 1，22 1，所以切线斜率为 1，故切线方程为 y 22 1x 22 1，即 yx2 2.2已知 P(x，y)是直线
9、 kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆 C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则 k 的值为()A3B 212C2 2D2如图所示，由题意可得圆 C 的圆心坐标为(0，1)，半径为 1，则由四边形 PACB 的最小面积为 2 得 212|PA|12，所以|PA|2.又 PA 是圆C 的切线，由勾股定理得|PC|PA|212 5，再由点到直线的距离公式得|0k14|k212 5(k0)，解得 k2.解析：选 D.3一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23
10、C54或45D43或34解析：选 D.由已知，得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有 d|3k22k3|k211，解得 k43或 k34.求过某点的圆的切线方程，一般设为点斜式方程首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心
11、的连线构成的直角三角形中求解命题点 2 构建半弦长、弦心距、半径的直角三角形1几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径r 构成直角三角形，即 r2l22d2；2代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1 x2|1k2（x1x2）24x1x2 或|AB|11k2|y1 y2|11k2（y1y2）24y1y2.4(2017天津蓟县第二中学一模)过点(4，0)作直线 l 与圆x2y22x4y200 交于 A，B 两点，若|AB|8，则 l 的方程为()A5x12y200B5x12y200C5x12y200 或
12、x40D5x12y200 或 x40解析：选 D.圆 x2y22x4y200 的圆心为(1，2)，半径为 5，当|AB|8 时，可得圆心到直线 l 的距离为 3.显然直线 l的斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为 x40；当斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x4)，由题意可得|3k2|1k23.解得 k 512，此时直线方程为 5x12y200，故选 D.5(2017商丘一模)已知圆 C：(xa)2(ya)21(a0)与直线 y2x 相交于 P、Q 两点，则当CPQ 的面积最大时，实数 a的值为解析：圆 C：(xa)2(ya)21(a0)的圆心为(a，a)，半径为 1，圆心到直线的距离
13、 d|2aa|5 a5，半弦长为1a52255a25，SCPQ a5 255a25 a2（5a2）5 5a2a4515（a252）2254，当 a252时，S 取得最大值，最大值为552522512，此时 a 102.答案：102若直线方程未知时，一般可以根据圆的半径、弦长求出圆心到直线的距离，列出关于直线斜率 l 的方程，同时注意直线垂直于 x 轴，即直线的斜率不存在的情况是否存在考点三 圆与圆的位置关系命题点 两圆心的距离圆与圆的位置关系(两圆半径 r1、r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含 图形 量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2 d|r1r2|d|r1r2|1(2
14、017张家界四校联考)与圆 C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40 都相切的直线有()A1 条B2 条C3 条D4 条解析：选 A.将已知圆化为圆的标准形式，C1：(x1)2(y3)2 36，C2：(x 2)2 (y 1)2 1，两 圆 圆 心 距|C1C2|（12）23（1）25，两圆圆心距等于两圆半径之差，故两圆相内切，它们只有一条公切线2(2017郑州质检)若O1：x2y25 与O2：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是解析：由两圆在点 A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即 AO1AO
15、2，在直角三角形 AO1O2 中，(2 5)2(5)2m2，m5，|AB|22 5 554.答案：43若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 2 3，则 a解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y1a，又 a0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a22（3）21a1.答案：1两圆公共弦长要利用某圆心到直线的距离、半径和弦长的一半构成的直角三角形计算，其中公共弦所在直线方程由两圆方程相减得到，即(D1D2)x(E1E2)yF1F20.巧用圆的几何性质典例 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆
16、 C2：(x3)2(y4)29，N，M 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24B.171C62 2D 17解析 作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PM|PN|，由图可知当 C2，M，P，N，C1在同一直线上时，|PM|PN|PM|PN|取得最小值，即为|C1C2|135 24.故选A.答案 A方法探究 利用两圆心的连线的性质与对称特点求得答案，解析几何中涉及圆的问题，要注意强化两种解题意识：一是画图意识，通过画图探求解析，去杂补漏；二是灵活应用圆的几何性质解题的意识1设两圆 C1、C2 都和
17、两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A4B4 2C8D8 2解析：选 C.由题意易知圆心在直线 yx 上，设圆的方程为(xa)2(ya)2a2，由于圆过点(4，1)，所以有(4a)2(1a)2a2，解得 a52 2或 a52 2，因此圆心 C1(52 2，52 2)，C2(52 2，52 2)，从而两圆心的距离|C1C2|（52 252 2）2（52 252 2）28.故选 C.1考前必记(1)直线与圆的位置关系及判定方法(2)圆与圆的位置关系及判定方法(3)圆的弦长公式及求法2答题指导(1)看到直线与圆的位置关系，想到圆心到直线的距离(2)看到弦长想到弦长公式(3)看到两圆的位置关系，想到两圆圆心距与两圆半径(或差的绝对值)间的关系课时规范训练