1、章 末 归 纳 整 合【知识构建】专题一 复数运算中的简化策略复数一章，以其概念多、涉及面广、题型多样、运算量大而成为学生学习的难点，因此学习中如何选取适当的方法，降低解题难度，减少解题步骤及计算量，既是学好本章的关键，也是提高数学能力的重要途径【思想方法专题】【例 1】已知 z12i，z2z1i2i1z1，求 z2.分析：依题意，将 z1 代入 z2 后合并同类项，之后令分数上下同时乘以分母的共轭复数，化简即可求解解：z222i2i12i21i1i2i.方法点评：本题主要考查了复数除法的运算法则，同时应该注意复数的加减法法则与乘除法法则的混合运算1若 a 为实数，2ai1 2i 2i，则 a
2、 等于_【答案】2【解析】2ai1 2i 2i 可得 2ai 2i(1 2i)22i，a 2.【例2】求证：方程(z1)2n(z1)2n0(nN*)只有纯虚数根分析：可以通过将方程变形，然后再利用复数的几何意义来证明证明：显然 z1，故得z1z12n1z1z12n1|z1|z1|，此方程表示的点为落在虚轴上的点，然而 z0 显然不适合原方程原方程只有纯虚数根方法点评：对于某些含有|z|，z 和|z|的复数方程，可通过整体取模或变形整体取模，化为实数方程进行求解这运用了整体化归的数学思想，体现了数学知识的统一美2已知 z1m21m1i，z2(2m3)12i，mR，i 为虚数单位若 z1z2 是纯
3、虚数，求 z1 z 2 的值【解析】z1z2(m22m3)1m112 i，z1z2 是纯虚数，m22m30，1m1120，解得 m1.z1112i，z2112i，则 z 2112i.z1 z 2112i 112i 112i 234i 34i.【例3】已知zC且|z|1，解方程z5z1.分析：由题意可得z51z，两边取模后，式子左右两边的复数z分别代表两个圆，要使等式成立即要求两圆交点解：由题设得 z51z，所以|z|5|1z|.因为|z|1，所以|1z|1.它表示复平面内复数 z 对应的点 Z 为圆 x2y21 与(x1)2y21 的交点(如图所示)交点坐标为12，32，故 z12 32 i.
4、方法点评：复数的几何意义中涉及平面几何的有关问题，在解决这类题目时，数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化3已知复数(x2)yi(x，yR)的模为 3，求yx的最大值【解析】|(x2)yi|3，(x2)2y23，故(x，y)在以(2,0)为圆心，以 3为半径的圆上.yx表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率，又过原点的切线倾斜角为 60.故切线的斜率为3，故yx的最大值为 3.专题二 复数系中的一元二次方程问题一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判别方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注意它的系数是实数还是虚数，就不能单纯地考虑根的判别式了但根与系数的关系对复系
5、数方程仍然适用，对于复数系中的一元二次方程的根及根与系数的有关问题，作如下探讨【例 4】一元二次方程 x23xm0(mR)有一个根为 xa 3i(aR)，试求 a 和 m 的值分析：实系数一元二次方程若有复数根，其两根为共轭复数之后利用韦达定理来解答解：该方程为实系数一元二次方程且它有一个虚根为 x1a 3i，那么它必有共轭虚根为 x2a 3i.由根与系数的关系，知 x1x2a 3ia 3i3，a32.又 x1x2m，m214.故 a32，m214.方法点评：本题已知一元二次方程的两根为复数，求其系数，考查实系数一元二次方程的两复数根为共轭复数4如果12i是实系数一元二次方程x2axb0的根，
6、求ab的值【解析】12i是实系数一元二次方程x2axb0的根，所以12i是方程的另外一个根，由韦达定理可得(12i)(12i)a且(12i)(12i)b，a2，b14i25，ab3.【例5】关于t的方程(1i)t22(ai)t53i0有实根，求实数a的值及方程的根分析：设实根然后代入方程通过复数相等的充要条件来解答解：由题意知方程有实根，不妨设该实根为 x，则由复数相等的充要条件，得x22ax50，x22x30.由得 x3 或 x1.当 x3 时，代入，得 a73；当 x1 时，代入，得 a3.当 a73时，方程一个根为 3.设另一个根为 x1，由根与系数的关系，得 3x153i1i.x113
7、43i.当 a3 时，一个根为1，同理，得另一个根为14i.综上，当 a73时，方程的根为 x3 或 x1343i；当 a3 时，方程的根为 x1 或 x14i.方法点评：对于复系数的一元二次方程，直接将根代入方程，再利用复数相等的充要条件求解5已知关于x的方程x2(4i)x3pi0(pR)有实数根，求p的值，并解这个方程【解析】设方程的实数根为 a，则满足 a2(4i)a3pi0，即 a24a3(ap)i0，则a24a30，ap0，即a1或3，pa.当 a1 时，p1；当 a3 时，p3.当 a1，p1 时，由韦达定理得1x(4i)，即x3i，即另外一个根为3i，当 a3，p3 时，由韦达定
8、理得3x(4i)，即x1i，即另外一个根为1i.从近几年高考信息统计可以看出，复数这一模板呈现以下特点：考查复数是题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属于容易题；重点考查复数的四则运算及其几何意义，会在几何意义上与几何知识结合处命题【解读高考】1.(2019年新课标)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】依题意，z32i，在复平面内对应的点为(3，2)，在第三象限.2.(2020 年山东新高考)2i,12i()A.1 B.1 C.i D.i【答案】D【解析】2i,12i(2i)(12i),(12i)(12i)5i,14i.故选 D.3.(2019年新课标)z(1i)2i,则z()A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】D【解析】由 z(1i)2i,得 z 2i1i2i(1i)(1i)(1i)1i.4.(2020 年新课标)若 z1i，则|z22z|()A.0 B.1 C.2 D.2【答案】D【解析】若 z1i，则 z22z(1i)22(1i)2i22i2，则|z22z|2|2.故选 D.5(2019 年浙江)已知复数 z 11i，其中 i 是虚数单位，则|z|_【答案】22 【解析】z 11i1i(1i)(1i)1212i，所以|z|12212222