1、第3讲平面向量的数量积考试要求1.平面向量数量积的含义及其物理意义，B级要求；2.平面向量的数量积与向量投影的关系，A级要求；3.数量积的坐标表示，数量积的运算，C级要求；4.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直，B级要求知 识 梳 理1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|
2、a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)4平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a
3、(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则bc.()解析(1)两个向量的夹角的范围是0，(4)若ab0，a和b的夹角可能为0；若ab0，a和b的夹角可能为.(5)由abac(a0)得|a|b|cosa
4、，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相等答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2015全国卷改编)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a_.解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，得(2ab)a(1,0)(1，1)1.答案13(2017南京、盐城模拟)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_解析因为(ab)a，所以(ab)a|a|2|a|b|cosa，b32cosa，b0，解得cosa，b，由于a，b0，则向量a，b的夹角为.答案4已知平面向量a，b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.解析|a
5、b|2|a|22ab|b|242|a|b|cos 14213，|ab|.答案5(必修4P81习题2改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案2考点一平面向量的数量积【例1】 (1)(2015四川卷改编)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则_.(2)(2016天津卷改编)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为_解析(1)取，为一组基底3，(43)(43)(16292)(16
6、62942)9.(2)法一如图所示，根据已知得，所以，则()222211cos 60.法二建立如图所示的平面直角坐标系则B，C，A，所以(1,0)易知DEAC，FECACE60，则EFAC，所以点F的坐标为，则，所以(1,0).答案(1)9(2)规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补【训练1】 (1)(2017苏州调研)在RtABC中，A90，ABAC2，点D为AC的中点，点E满足，则_.(2
7、)(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_解析(1)法一因为()，.因为ABAC，所以0，所以|2|222222.法二建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，E，所以，(2,1)，所以(2,1)(2)12.(2)设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab.ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab.babab，则(a2b2)ab4.答案(1)2(2)考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016全国卷
8、改编)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，可得m.由题意知，当m时，且与同向故当ABC为锐角时，实数m的取值范围是.答案二、解答题9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4
9、|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.10(2017德州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，且B是ABC一
10、内角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2017南通、扬州、泰州调研)如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若|3，|5，则()()的值为_解析()()(2)2()()|2|2325216.答案1612(2016山东卷改编)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为_解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4.答案413已知直角梯
11、形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_解析以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx(0xa)，D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，当x时取等号|3|的最小值为5.答案514在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR)(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值解(1)mn，(1,2)，(2,1)，(1,2)(2,1)(2,2)，|2.(2)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.