1、2012年-2013年上海市八校区重点（新八校）数学卷（满分150分，考试时间120分钟）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1已知集合A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合B = 3 , m2 ，若，则实数m =_2复数对应复平面上的点在第 象限3已知，则的値为 4以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 5已知的展开式中，所有二项式系数的和为32，其展开式中的常数项为 （用数字答）（第9题）6已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点 若，则= 7函数的最小正周期是 8已知函数存在反函数，若
2、函数的图象经过点，则的值是9右图给出的是计算的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是 10已知定义在R上的函数对于任意的，都有成立，设，则数列中值不同的项最多有 项11上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的概率是 12如右图，底面直径为20的圆柱被与底面成二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为 13观察以下等式：，将上述等式推广到一般情形：对，有等式： 14在实数中定义一种运算“”，具有下列性质：对任意 对任意 对任意则函数 的单调递减区间是 二选择题（本大题满分20
3、分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15“直线与平面无公共点”是“”的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件16圆关于直线对称的圆方程是（ ） 17定义：称为个正数的“均倒数”，已知正项数列的前项的“均倒数”为，则 （ ） 0 1 18设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数: 取函数（）当时，函数值域是( ) 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19（本题满分12分）在中，分别为内角所对的边，且满足（1）
4、求的大小； （2）若，且求的面积20（本题满分13分）在长方体中，过、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体（1）求几何体的体积；（2）求直线与面所成角的大小（用反三角表示）21（本题满分13分）已知动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，点C在直线上。（1）求动点的轨迹方程；（2）设过定点，法向量的直线与（1）中的轨迹相交于两点且点在轴的上方，判断能否为钝角并说明理由进一步研究为钝角时点纵坐标的取值范围22（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“基函数”生成的（1）若和生成一个偶函数，求的值
5、；（2）若由函数，生成，求的取值范围；（3）试利用“基函数”生成一个函数，使之满足下列件：是偶函数；有最小值；求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明) 23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知点，（为正整数）都在函数的图像上，且数列是公差为的等差数列（1）证明：数列是等比数列；（2）若公差，以点的横、纵坐标为边长的矩形面积为，求最大的实数，使 对一切正整数恒成立；（3）对（2）中的数列，对每个正整数，在与之间插入个（如在与之间插入个，与之间插入个，与之间插入个，依此类推），得到一个新的数列，设是数列的前项和，试探究是否为数列中的某一项，写出你
6、探究得到的结论并给出证明数学答案一填空题（每题4分，共56分）1、m =1 ；2、第一象限；3、；4、；5、；6、8； 7、；8、；9、（，等，答案不唯一）；10、；11、；12、 ；13、；14、 (注：也正确)二、选择题（每题5分，共20分）15、 16、 17、 18、D三、解答题、（本大题满分74分，共5题）19在中，分别为内角所对的边，且满足13、 求的大小；14、 若，且求的面积解：（1）由运用正弦定理得：（2分）即：（4分）所以（6分）（2）由余弦定理：,又得 所以（12分）也可利用正弦定理20在长方体中，过、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体。（1）求几何体
7、的体积。（2）求直线与面所成的角。解（1） （5分）（2）方法一（空间向量）解以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示由题意：, （7分） ,设面的法向量是，则取得 （10分）设与的夹角为，则设直线与面所成的角为，则（12分）得直线与面所成的角为 （13分）方法二（几何法）找角，解三角形求直线与面所成的角为 酌情给分21已知动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，点C在直线上。（1）求动点的轨迹方程。（2）设过定点，且法向量的直线与（1）中的轨迹相交于两点且点在轴的上方。判断能否为钝角并说明理由。进一步研究为钝角时点纵坐标的取值范围。解（1）动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，所以的轨迹是以
8、点为焦点，直线为准线的抛物线，轨迹方程为 （4分） （2）方法一：由题意，直线的方程为 （5分）故A、B两点的坐标满足方程组得， 设，则， （8分）由，所以不可能为钝角。（10分）若为钝角时，,得 若为钝角时，点C纵坐标的取值范围是 （13分）注：忽略扣1分方法二：由题意，直线的方程为 （5分）故A、B两点的坐标满足方程组得，设，则， （8分）由，所以不可能为钝角。（10分）过垂直于直线的直线方程为令得为钝角时，点C纵坐标的取值范围是 （13分）注：忽略扣1分22（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“基函数
9、”生成的（1）若和生成一个偶函数，求的值；（2）若由函数，生成，求的取值范围；（3）试利用“基函数”生成一个函数，使之满足下列条件：是偶函数；有最小值；求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明)。解：（1）设，是偶函数，； （4分）（2）设 （8分）由知， （11分）（3）设是偶函数，即，得 （13分）则 ，有最小值则必有，且有， 16分在上为增函数，在上为减函数18分23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知点，（为正整数）都在函数的图像上，且数列是公差为的等差数列（1）证明：数列是等比数列；（2）若公差，以点的横、纵坐标为边长的矩形面积为，求
10、最大的实数，使 对一切正整数恒成立（3）对（2）中的数列，对每个正整数，在与之间插入个（如在与之间插入个，与之间插入个，与之间插入个，依此类推），得到一个新的数列，设是数列的前项和，试探究是否为数列中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明解：（1）由已知，（1分）所以，（常数），（3分）所以，数列是等比数列（4分）（2）公差，则，得， ，（8分）， 数列从第二项起随增大而减小 （9分） 又， 则得最大的实数的值等于2（11分）（3） ，数列中， 从第一项开始到为止（含项）的所有项的和是，（13分）当时，其和是，（14分）而当时，其和是（15分）又因为，是的倍数，所以存在自然数，使此时（18分）