1、习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021江苏南京高一期末)设实数x满足x0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为()A.43-1B.43+2C.42+1D.6答案A解析x0,x+10,y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-123(x+1)4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=233-10时,等号成立,函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.故选A.2.(2020辽宁凤城高一期中)已知a0,b0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为()A.-1B.-32C.-4D.-2答案D解析a0,b0,b0,且
2、a2+b2=1,则()A.a+b2B.a+b12C.a+b2D.1a2+1b24答案AD解析因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b时,等号成立),又a0,b0,则a+b2,故A正确;1a2+1b2=a2+b2a2+a2+b2b2=1+b2a2+a2b2+12+2a2b2b2a2=2+2=4,当且仅当b2a2=a2b2,即a=b时,等号成立,故D正确.故选AD.4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800 km,那么这批物资全部到达灾区最少需要 h.
3、答案10解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50v2800v=v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v16h,由基本不等式,得400v+v162400vv16=10,故最少需要10h.5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为.答案3解析a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b=135+2ba+2ab13(5+4)=3,当且仅当2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1时,a+2bab取得最小值3.6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值
4、.解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy+ayx+b=10+bxy+ayx.因为x,y0,a,b0,所以x+y10+2ab=18,即ab=4.当且仅当bxy=ayx时,等号成立.又a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2.7.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50x100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t=130x小时,则y=130x62+x2360+14130
5、x,50x100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=3380x+136x,50x100.(2)y=3380x+136x263390,当且仅当3380x=136x,即x=2390时,等号成立.又23900,b0,且2a+b=1,若不等式2a+1bm恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案B解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时,等号成立.所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1bm恒成立,所以m9,即m的最大值为9.9.(2021浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则4a1
6、-a+b1-b的最小值是()A.1B.2C.4D.8答案C解析因为正数a,b满足a+b=1,则4a1-a+b1-b=4ab+ba24abba=4,当且仅当4ab=ba,即b=2a=23时,等号成立.故4a1-a+b1-b的最小值是4,故选C.10.(2021云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.2答案B解析设两个正方形的边长分别为x,y,则x0,y0,且x+y=1,由基本不等式可得x2+y22xy,所以2(x2+y2)x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y212,当且仅当x=y=12时,等号成立,因此,两个正方
7、形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B.11.(多选题)(2021浙江湖州高一期末)已知a0,b0.若4a+b=1,则()A.14a+1b的最小值为9B.1a+1b的最小值为9C.(4a+1)(b+1)的最大值为94D.(a+1)(b+1)的最大值为94答案BC解析由题得,14a+1b=14a+1b(4a+b)=2+b4a+4ab2+2b4a4ab=4,当b4a=4ab,即b=4a且4a+b=1时,等号成立,故14a+1b的最小值是4,故A不正确;1a+1b=1a+1b(4a+b)=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当ba=4ab,即b=2a且4a+b=1时,等号成立,1a+1b的最
8、小值为9,故B正确;(4a+1)(b+1)(4a+1)+(b+1)22=94,当4a+1=b+1,即b=4a=12时,等号成立,故C正确;(a+1)(b+1)=14(4a+4)(b+1)14(4a+4)+(b+1)22=94,当且仅当4a+4=b+1时,等号成立,又因为4a+b=1,因此当a=-14,b=2时,等号成立,但a0,所以等号不能成立,故D不正确.故选BC.12.设函数y=x+ax(a0).(1)若a=1,求当x0时,函数y的最小值为;(2)当x2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a的值为.答案(1)2(2)5(答案不唯一,只要a4即可)解析(1)当a=1时,由基本不等式得x+1
9、x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,故最小值为2.(2)由基本不等式得x+ax2xax=2a,当且仅当x=ax,x=a时等号成立,故a2,即a4.填a4的任意一个a都符合题意.13.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n20,则实数a的最大值为.答案22解析m,n为正实数,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即am2+2n2mn=mn+2nm恒成立.mn+2nm2mn2nm=22,a22,即最大值为22.14.经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:千米/时)之间有如下关系:y=920vv2+3v+1600(v0).在
10、该时段内,当汽车的平均速度v为时车流量y最大,最大车流量为千辆/时(精确到0.01).答案4011.08解析y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+39202v1600v+3=9208311.08.当v=1600v,即v=40千米/时,车流量最大,最大值为11.08千辆/时.新情境创新练15.中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工
11、程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2x6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.解(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=31502x+40012x+7200=900x+16x+7200(2x6),900x+16x+72009002x16x+7200=14400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14400元.(2)由题意可得,当2x6时,900x+16x+7200900a(1+x)x恒成立,即(x+4)2xa(1+x)x,a(x+4)2x+1=(x+1)+9x+1+6,又x+1+9x+1+62(x+1)9x+1+6=12,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.a的取值范围为a|0a12.6