1、 A组基础巩固1已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()AaBbCa2b Da2c解析：只有a2c与p，q不共面，故可以与p，q构成一个基底答案：D2以下四个命题中正确的是()A用三个向量可表示空间中的任何一个向量B若a，b，c为空间向量的一个基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底解析：使用排除法因为用三个不共面的向量可表示空间中的任何一个向量，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间的一个基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确故选B.答案：
2、B3设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)答案：A4.如图，已知正方体ABCDABCD中，E是平面ABCD的中心，a，b，c，xaybzc，则()Ax2，y1，z Bx2，y，zCx，y，z1 Dx，y，z解析：()2abc.答案：A5.如图，在正方体ABCDA1B1C1
3、D1中，棱长为1，则在上的投影为()A B.C D.解析：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，|，|，|.AB1C是等边三角形在上的投影为|cos，cos 60.答案：B6.如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，x y z ，则有序实数组(x，y，z)_.解析：，所以有序实数组(x，y，z).答案：7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，ADAA12，则向量在向量上的投影为_解析：在上的投影为|cos，1，而|2，在RtAD1C1中，cosD1AC1，|cos，2.答案：28设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，若存在实数，v，使a4a1 a
4、2v a3，则，v的值分别为_解析：由题意得3i2j5k(2ijk)(i3j2k)v(2ij3k)，由空间向量基本定理可知，由同一个基底表示的同一个向量是唯一的，解得.答案：2,1，39已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量ab，ab，c是空间的另一个基底若向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，求p在基底ab，ab，c下的坐标解析：依题意知，pa2b3c.设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc，即p(xy)a(xy)bzc.又pa2b3c，解得p在基底ab，ab，c下的坐标为(，3)10已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA
5、平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分成定比1，试用向量、表示向量.解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，AC，则.由题意易知，所以().B组能力提升1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若x y z ，且0xyz1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()A1 B.C. D.解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，知满足0xy1的点P在三棱柱ACDA1C1D1内，满足0yz1的点P在三棱柱AA1D1BB1C1内，故同时满足0xy1和0yz1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥AA1C1D1内，其
6、体积是111.答案：D2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，CC11，则在上的投影是_解析：在上的投影为|cos，在ABC1中，cosBAC1，又|.|cos2.答案：23在三棱锥OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图，()()abc.答案：abc4.已知，在棱长为2的正四面体ABCD中，以BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求的坐标解析：易知BCD的中线长为2，则OC.OA，设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OEBD，()()ijk，.5.如图，三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若m ，n ，t ，求证：为定值，并求出该定值解析：连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令，为空间的一个基底，()()().连接DM.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数，使得 ，即()()，所以(1) (1)m n t .由空间向量基本定理，知(1)m，n，t，所以4(1)444，为定值