1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点、难点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)3了解共轭复数的概念(难点)1通过复数代数形式的乘法、除法的学习，培养学生的数学运算核心素养2通过共轭复数及其应用的学习，提升学生的数学运算核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则 z1z2(abi)(cdi)_.(acbd)(adbc)i思考 1：复数的乘法与
2、多项式的乘法有何不同？提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3C，有交换律z1z2_ 结合律(z1z2)z3_ 乘法对加法的分配律z1(z2z3)_ z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3思考 2：|z|2z2，正确吗？提示 不正确例如，|i|21，而 i21.2共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z表示即 zabi，则z_.3复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)abi
3、1复数(32i)i 等于()A23i B23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i，选 B.2已知复数 z2i，则 z z的值为()A5 B 5 C3 D.3A z z(2i)(2i)22i2415，故选 A.3(2i)i_.12i(2i)i2ii 2iiii12i.4设 z1i(i 是虚数单位)，则2zz2_.1i 2zz2 21i(1i)221i212ii2 1i2i1i.合 作 探 究 释 疑 难 复数乘法的运算【例 1】(1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(2)计算：(12i)(34i)
4、(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)B z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以a10，解得 a1，故选 B.(2)解(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(1i)212ii22i.1两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.跟进训练1(1)下列各式的运算结果为纯虚数
5、的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2)复数 z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_(1)C(2)5(1)(1i)212ii212i12i，故选 C.(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以 z 的实部是 5.复数除法的运算【例 2】计算：(1)32i23i32i23i；(2)i2i11ii1i.(3)1i71i 1i71i 34i22i343i.解(1)32i23i32i23ii23i23i i23i23iii0.(2)i2i11ii1i i2i2i2i1i2ii 13i2i 13i2i2i2i2i6i3i2555i51i.(3)原
6、式(1i)231i1i(1i)231i1i834i1i334ii(2i)3i(2i)3(i)82i1ii881616i16i.1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.跟进训练2(1)若 z(1i)2i，则 z()A1iB1iC1iD1i(2)计算：7i34i；1i2ii.(1)D(2)解 7i34i 7i34i34i34i2525i251i.1i2ii3ii 3iiii13i.共轭复数及其应用探究问题1若 zz，
7、则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示 zzzR，利用这个性质可证明一个复数为实数2若 z0 且 zz0，则 z 是什么数？这个性质有什么作用？提示 z0 且 zz0，则 z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数3三个实数|z|，|z|，z z具有怎样的关系？提示 设 zabi，则 z abi，所以|z|a2b2，|z|a2b2 a2b2，z z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|z|2z z.【例 3】(1)已知复数 z3i1 3i2，z是 z 的共轭复数，则 z z等于()A14 B12 C1 D2(2)已知复数 z 满足|z|5，且(12i)z 是实数，
8、求 z.思路探究：可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1)A 法一：z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2i1 3ii1 3i4 34 i4，z 34 i4，z z14.法二：z3i1 3i2，|z|3i1 3i2|3i|1 3i2|2412，z z14.(2)解 法一：设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i，又因为(12i)z 是实数，所以 b2a0，即b2a，又|z|5，所以 a2b25.解得 a1，b2，所以 z12i 或12i，所以z12i 或12i，即z(12i)法二：因为(12
9、i)z 是实数，故可设 zb(12i)，bR，由|z|5可知|b|14 5，所以 b1，即z(12i)1(变结论)在例(1)条件不变的情况下，把例(1)的结论改为求zz.解 由例题(1)的解析可知 z 34 i4，z 34 i4，z z14，zz z2z z 34 i421412 32 i.2(变条件)把例(2)的条件“(12i)z 是实数”换成“(12i)z 是纯虚数”，求z.解 设 zabi，则zabi，由例题(2)的解析可知 a2b，由|z|a2b25b2 5，得 b1，a2；或 b1，a2.所以z2i，或z2i.1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进
10、行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用课 堂 小 结 提 素 养 1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化1设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于()A
11、i BiC1D1A z1ii.2若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则 z()A23iB23iC32i D32iA zi(32i)3i2i223i，z23i.3复数3ii2(i 为虚数单位)的实部等于_3 由题可得3ii2 3i，3i 的实部为3.4(1i)22i2i_.35145 i(1i)22i2i2i2i2535145 i.5已知复数 z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若z1 与 z2 互为共轭复数，求 a，b 的值解 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i,z2a2i1i a2i1i1i1i aai2i22a22 a22 i.由于 z1 和 z2 互为共轭复数，所以有 a22 b1，a22 b1，解得a2，b1.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
