1、第五章 函数应用单元整合1.%￥6*702#%(2020衡水中学月考)函数f(x)=e-x+4x-3的零点所在的区间为()。A.-14,0B.0,14C.14,12D.12,34答案：D解析：因为f(x)=e-x+4x-3,所以f-14=e14-1-30,f(0)=-20,f14=e-14+1-3=e-14-20,f12=e-12+2-3=e-12-10,故f-14f(0)0,排除A;f(0)f140,排除B;f14f120,排除C;f12f340,f(0)f(1)0,根据零点存在定理,可得函数f(x)的零点所在区间是(0,1)。故选A。4.%5￥4￥#01%(2020武汉二中高一期末)函数f
2、(x)=ln x+2x-3的零点所在的区间是()。A.(0,1)B.(2,3)C.(1,2)D.(3,4)答案：C解析：因为f(x)=ln x+2x-3单调递增,且f(1)=0+2-3=-10,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2)。故选C。5.%￥8￥#3*13%(2020宜林中学模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x0,1时,f(x)=x,则函数h(x)=f(x)-log3|x|的零点个数是()。A.6B.8C.2D.4答案：D解析：定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),满足f(x+2)=f(x),故函数f(x)的周期为2。又当x0,1时,
3、f(x)=x,故当x-1,0时,f(x)=-x。函数h(x)=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数。在同一坐标系中画出函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像如图。显然函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像有4个交点。故选D。6.%5#6￥#3*2%(2020郑州一中期中)某企业2018年全年投入研发资金150万元,为激励创新,该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%,则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.080.033,lg 20.301,lg 30.477)
4、()。A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年答案：C解析：设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n,则150(1+8%)n-2 018200,则n2 018+2lg2-lg3lg1.082 018+0.602-0.4770.0332 021.8,取n=2 022。故选C。7.%078*7￥%(2020六安一中期中)设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的xR,都有f(2-x)=f(2+x),且当x-2,0时,f(x)=12x-1,若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)在区间(-2,6内恰有3个不同实根,则实数a的取值范围是()。A.(43,48)
5、B.(34,2)C.(43,2)D.(34,1)答案：B解析：因为f(x)为偶函数,故f(2-x)=f(x-2),所以f(x+2)=f(x-2),所以f(x)的周期为4,因为x-2,0时,f(x)=12x-1,所以f(x)在(-2,6上的图像如图。因为f(x)-loga(x+2)=0有3个不同的解,所以f(x)的图像与y=loga(x+2)的图像有3个不同的交点,故f(2)loga(2+2),f(6)loga4,3loga8,解得413a2。故选B。8.%8*97￥1#%(2020成都七中高一期中)已知函数f(x)(对应的曲线连续不断)在区间0,2上的部分对应值如下表:x00.881.301.
6、4061.431f(x)-2-0.963-0.340-0.0530.145x1.521.621.701.8752f(x)0.6251.9752.5454.055由此可判断:当精确度为0.1时,方程f(x)=0的一个近似解为。(精确到0.01)答案：1.41(答案不唯一)解析：由所给的表格可以看出,x=1.406与x=1.431对应的函数值的符号不同,即f(1.406)f(1.431)0)。(1)若f(x)的值域为0,+),求关于x的方程f(x)=4的解;答案：解:因为f(x)的值域为0,+),所以f(x)min=f-a2=14a2-12a2+1=0。因为a0,所以a=2,则f(x)=x2+2x
7、+1。因为f(x)=4,所以x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1。(2)当a=2时,函数g(x)=f(x)2-2mf(x)+m2-1在-2,1上有三个零点,求m的取值范围。答案：g(x)=f(x)2-2mf(x)+m2-1在-2,1上有三个零点等价于方程f(x)2-2mf(x)+m2-1=0在-2,1上有三个不同的实根。因为f(x)2-2mf(x)+m2-1=0,所以f(x)=m+1或f(x)=m-1。由(1)知f(x)=x2+2x+1。结合f(x)在-2,1上的图像可知,要使方程f(x)2-2mf(x)+m2-1=0在-2,1上有三个不同的根,则f(x)=m+1在-
8、2,1上有一个实数根,f(x)=m-1在-2,1上有两个不等实数根,即1m+14,0m-11,解得1m2。故m的取值范围为(1,2。10.%#6555#￥%(2020武汉外国语学校高一期末)已知函数f(x)=ax2-4x+2,函数g(x)=13f(x)。(1)若函数f(x)在(-,2和2,+)上单调性相反,求f(x)的解析式;答案：解:由单调性知,函数f(x)=ax2-4x+2为二次函数,其对称轴为直线x=-42a=2,解得a=1,f(x)=x2-4x+2。(2)若a0,不等式g(x)9在x0,12上恒成立,求a的取值范围;答案：依题意得13f(x)9=13-2,即13ax2-4x+213-2
9、在x0,12上恒成立,转化为ax2-4x+2-2在x0,12上恒成立,即ax2-4x+40在x0,12上恒成立,转化为a4x-4x2=4x-4x2在x0,12上恒成立,令1x=t(t2),则转化为a4t-4t2在t2,+)上恒成立,即a(4t-4t2)max,a-8,-8as(1)=0,r(2)=-3s(2)=1,两函数图像在区间1,2上有唯一交点;当a0时,r(x)图像开口向下,对称轴为直线x=2a0,r(x)在1,2内为减函数,s(x)=log2 x,x1,2为增函数,且r(1)s(1),r(2)s(2)a+10,4a-31-1a1,-1a0。当0a1时,r(x)的图像开口向上,对称轴为直
10、线x=2a2,r(x)在1,2内为减函数,s(x)=log2x,x1,2为增函数,则由r(1)s(1),r(2)s(2)a+10,4a-31-1a1,0a1。综上,a的取值范围为-1,1。11.%*18*92*%(2020南京外国语学校高一期中)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间一段时间,学生保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(min)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经实验分析得知:f(t)=-t2+24t+100(0t10),240(10t20),-7t+38
11、0(20t40)。(1)讲课开始多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?答案：解:当0t10时,f(t)=-t2+24t+100是增函数,当20t40时,f(t)=-7t+380是减函数,且f(10)=f(20)=240,所以讲课开始10 min,学生的注意力最集中,能持续10 min。(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较,何时学生的注意力更集中?答案：因为f(5)=195,f(25)=205,所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中。(3)一道数学难题,需要讲解24 min,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生
12、达到所需要的状态下讲完这道题目?答案：当0t10时,令f(t)=-t2+24t+100=180,得t=4,当2024,所以经过适当的安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目。1.%74￥99#*%(2019浙江高考)设a,bR,函数f(x)=x(x0),13x3-12(a+1)x2+ax(x0)。若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()。A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0答案：C解析：由题意可得,当x0时,f(x)-ax-b=13x3-12(a+1)x2-b,令f(x)-ax-b=0,则b=13x3-12(a+1)x2=16x22x-3(a+1)。因为对任意的x
13、R,f(x)-ax-b=0有3个不同的实数根,所以要满足条件,则当x0时,b=16x22x-3(a+1)必须有2个零点,所以3(a+1)20,解得a-1。所以b0),g(x)=f(x)+x+a。若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()。A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案：C解析：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图像,如图,由图可知,-a1,解得a-1,故选C。3.%#￥5￥6*64%(2017全国高考)已知函数f(x)=x
14、2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()。A.-12B.13C.12D.1答案：C解析：由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图像的对称轴。由题意,知f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12,故选C。4.%5#8#1*2%(2017山东高考)已知当x0,1时,函数y=(
15、mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()。A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,2)23,+)D.(0,23,+)答案：B解析：当0m1时,需满足1+m(m-1)2,解得0m3,故这时01时,需满足(m-1)21+m,解得m3或m0,故这时m3。综上可知,正实数m的取值范围为(0,13,+)。故选B。5.%#*￥6￥921%(天津高考)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a(x0且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()。A.0,23B.23,34C.13,2334D.13
16、,2334答案：C解析：当x0时,f(x)单调递减,必须满足-4a-320,故0a34,此时函数f(x)在0,+)上单调递减,若f(x)在R上单调递减,还需3a1,即a13,所以13a34。结合函数图像(图略),当x0时,函数y=|f(x)|的图像和直线y=2-x有且只有一个公共点,即当x0时,方程|f(x)|=2-x只有一个实数解。因此,只需当x0时,方程|f(x)|=2-x恰有一个实数解。根据已知条件可得,当x0,即只需方程f(x)=2-x恰有一个实数解,即x2+(4a-3)x+3a=2-x,即x2+2(2a-1)x+3a-2=0在(-,0)上恰有唯一的实数解。判别式=4(2a-1)2-4
17、(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(a-1)(4a-3),因为13a34,所以0。当3a-20,即13a0,即23a34时,因为-(2a-1)0,函数f(x)=x2+2ax+a(x0),-x2+2ax-2a(x0)。若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是。答案：(4,8)解析：设g(x)=f(x)-ax=x2+ax+a,x0,-x2+ax-2a,x0,方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,即函数y=g(x)有2个零点,即y=g(x)的图像与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图像有以下两种情况:如图,则a2-4a0,a2-8a0,解得4a8。如图,则a2
18、-4a0,不等式组无解。如图,则a2-4a=0,a2-8a=0,无解。综上,满足条件的a的取值范围是(4,8)。7.%33￥*61%(2018浙江高考)已知R,函数f(x)=x-4(x),x2-4x+3(x)。当=2时,不等式f(x)0的解集是。若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是。答案：(1,4)(1,3(4,+)解析：若=2,则当x2时,令x-40,得2x4;当x2时,令x2-4x+30,得1x2。综上可知1x4,所以不等式f(x)0的解集为(1,4)。令x-4=0,解得x=4;令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3。因为函数f(x)恰有2个零点,结合函数的图像(图略)可知14。8
19、.%#25*44￥%(山东高考)已知函数f(x)=|x|(xm),x2-2mx+4m(xm),其中m0。若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是。答案：(3,+)解析：f(x)=|x|(xm),x2-2mx+4m(xm),当xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,其顶点为(m,4m-m2);当xm时,函数f(x)的图像与直线x=m的交点为Q(m,m)。当m0,4m-m2m,即0m3时,函数f(x)的图像如图1,易得直线y=b与函数f(x)的图像有一个或两个不同的交点,不符合题意;当4m-m20,即m3时,函数f(x)的图像如图2,则存在实数b满足4m-m2bm,使得直线y=b与函数f(x)的图像有三个不同的交点,符合题意。综上,m的取值范围为(3,+)。