1、A组基础巩固1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()A2B.C. D1解析：c2a23，4，得a1.答案：D2已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.答案：D3已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且F1PF22PF1F2，则该双曲线的离心率为()A.1 B.1C. D.解析：由题设知
2、F1PF2PF1F290.又F1PF22PF1F2，所以PF1F230.不妨设P(c，d)(d0)，则|PF2|d，|PF1|2d，|F1F2|d.从而2a|PF1|PF2|2ddd,2c|F1F2|d，故e.答案：D4若双曲线经过点(6，)，且渐近线方程是yx，则这条双曲线的方程是()A.1 B.1C.y21 D.1解析：设双曲线的方程为y2(0)，将(6，)代入该方程可得的值答案：C5已知双曲线y21，则其渐近线方程是_，离心率e_.解析：因为a24，b21，所以c25.即a2，c.e.将y21中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程答案：yx6已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近
3、线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则 AOB的面积为_解析：由题意得双曲线的渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则AB的中点坐标为，222，即x1x22，SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22.答案：27已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是y x，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_解析：由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx得 ，b a.抛物线y216x的焦点为F(4,0)，c4.又c2a2b2，16a2(a)2，a24，b212.所求双曲线的方程为1.答案：18根据下列条件求双曲线的标准方程(1)
4、过点P(3，)，离心率为；(2)与椭圆1的公共焦点，且离心率e.解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)e，2，即a2b2.又双曲线过点P(3，)，则1，由，得a2b24，双曲线的标准方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理a2b2，1，由，得a2b24(舍去)综上，双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的焦点坐标为(4,0)和(4,0)，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则c4，e，a3，b2c2a27，所求双曲线的标准方程为1.9设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，求AF
5、B的面积解析：双曲线1的右顶点为A(3,0)，右焦点F(5,0)，一条渐近线为yx，则BF所在直线为y(x5)，由，得B(，)，SAFB|AF|yB|.B组能力提升1已知双曲线C：1的两条渐近线分别是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是3，则点M到渐近线l2的距离是()A. B1C. D3解析：双曲线C：1的渐近线方程为2x3y0，设M(x1，y1)为双曲线C上一点，则1，即4x9y36，点M到两条渐近线的距离之积为为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是3时，点M到渐近线l2的距离是3，选A.答案：A2已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点
6、且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是()Ae2e12 Be2e12Ce2e12 D.2解析：设三角形的边长为2.由题意，可求得椭圆的离心率e1，双曲线的离心率e2，所以e1e22，e1e22，e2e12，22.故选A.答案：A3设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_解析：根据两条直线垂直的条件，求出a，b之间的关系，进一步求出渐近线的斜率由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为y
7、x，即yx，渐近线的斜率为1.答案：14在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点，若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_解析：先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c的最大值所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线xy0与直线xy10的距离，此距离d.答案：5已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积解析：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：易知F1(2，0
8、)，F2(2，0)kMF1，kMF2.kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23.故kMF1kMF21.即MF1MF2.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1F2上的高h|m|，SF1MF246.6如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D，其中A，C在x轴的同一侧(1)求椭圆和双曲线的标准方程(2)是否存在题设中的点P，使得|？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析：(
9、1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，半焦距为c.由题意，知椭圆的离心率为，得ac.2a2c4(1)，a2，c2，b2a2c24，椭圆的标准方程为1，椭圆的焦点坐标为(2,0)双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆1的焦点，该双曲线的标准方程为1.(2)假设存在满足题意的点P.设P(x0，y0)，则kPF1，kPF2，点P在双曲线1上，kPF1kPF21.设PF1的方程为yk(x2)，则PF2的方程为y(x2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(2k21)x28k2x8k280，故x1x2，x1x2.|，同理|，由题知|cosF1PF2，cosF1PF2.|cosF1PF2，(2x0)(2x0)(y0)(y0)，又xy4，2(x4)，x8，y4，即存在点P(2，2)满足题意