1、把脉高考 理清考情考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优 课时规范训练 第 3 课时 二项式定理 考纲点击1.利用二项式通项公式的展开式求特定的项和特定项的系数.2.利用二项式定理求系数和.3.逆用二项式定理求和.1(2015高考课标卷)(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10B20C30D60解析：选 C.法一：利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.故选 C.法二：利用组合知识求解(x2xy)5 为 5 个
2、 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C1130.故选 C.2(2015高考湖北卷)已知(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29B210C211D212解析：选 A.由 C3nC7n，得 n10，故奇数项的二项式系数和为 29.3(2015 高考天津卷)在x 14x6的展开式中，x2 的系数为解析：设通项为 Tr1Cr6x6r 14xrCr614rx62r.令 62r2 得 r2，x2 的系数为 C261421516.答案：15164(2015高考课标全国卷)(ax)(1x)
3、4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a解析：(1x)4 的展开式通项为 Cr4xr，其中 r 可取 0，1，2，3，4.x 的所有奇数次幂为 aC14x，aC34x3，C04x，C24x3，C44x5，系数和为 8a832，a3.答案：3考点一 二项展开式的通项及应用命题点 二项展开式的通项1二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的 二项展开式其中的系数叫系数 式中的 Crnanrbr 叫二项展开式的，用 Tr1 表示，即通项Tr1Crnanrbr.2二项展开式形式上的特点(
4、1)项数为(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n 二项式通项n1Crn(r0，1，n)(3)字母 a 按排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到n.(4)二项式的系数从，C1n，一直到 Cn1n，降幂升幂C0nCnn1(2016高考全国乙卷)(2x x)5 的展开式中，x3 的系数是(用数字填写答案)解析：Tr1Cr5(2x)5r(x)r25rCr5x5r2，令 5r23，得 r4，T510 x3，x3 的系数为 10.答案：102(2016高考四川卷)设 i 为虚数单位，则(xi)6 的展开
5、式中含 x4 的项为()A15x4 B15x4C20ix4D20ix4解析：选 A.Tr1Cr6xr(i)6r，含 x4 的项为 T5C46x4i215x4.3(2017唐山一模)x21x22 3展开式中的常数项为()A8B12C20D20解析：选 C.x21x22 3x1x6，Tr1Cr6x6r1xrCr6(1)rx62r，令 62r0，得 r3，常数项为 C36(1)320.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可考点二 二项展开式的系数和问题命题点 二项式系数与
6、项的系数的区别1增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn12 时，二项式系数逐渐由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当 n是偶数时，中间一项 Cn2n取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项Cn-12n，Cn+12n取得最大值 增大2展开式的各二项式系数和：由(1x)nC0nC1nxCrnxrCnnxn，令 x1，得 C0nC1nC2nCrnCnn；令 x1，得 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n12n1(2017广西来宾一中检测)(1xx2)3(12x2)4a0a1xa2x2a14x14，则 a1a3a5a13 的值为解析：设 f(x)(1xx2)3(12x2)4.令 x 分别取 1
7、，1，f(1)a0a1a2a13a141，f(1)a0a1a2a13a1427，a1a3a5a13f（1）f（1）2127213.答案：132(2017江西上饶检测)已知(a21)n 展开式中的各项系数之和等于165 x2 1x5的展开式的常数项，而(a21)n 的展开式的系数最大的项等于 54，则 a解析：165 x2 1x5的通项公式 Tr1Cr5165 x2 5rx12r1655rCr5x205r2，令 205r0，得 r4，故常数项 T5C45165 16.又(a21)n 展开式的各项系数之和等于 2n，由题意知 2n16，得 n4.由二项式系数的性质知，(a21)4 展开式中系数最大
8、的项是中间项 T3，故有 C24a454，解得 a 3.答案：33在(2x3y)10 的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和解：设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为 a0a1a10，奇数项系数和为 a0a2a10，偶数项系数和为 a1a3a5a9，x 的奇次项系数和为a1a3a5a9，x 的偶次项系数和为 a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为
9、 C010C110C1010210.(2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为 C010C210C101029，偶数项的二项式系数和为 C110C310C91029.(4)令 xy1，得到 a0a1a2a101，令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510，得 2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为15102；得 2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为15102.(5)x 的奇次项系数和为 a1a3a5a915102；x 的偶次项系数和为 a0a2a4a1015102.求二项式中项的系数的和与差的方法技巧(1)对形如(a
10、xb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可；同理求系数之差时，只需根据题目要求令 x1，y1或 x1，y1 即可；如何赋值，要观察所求和与差式的特点，发现差异，确保正确(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数 之 和 为 f(1)，偶 次 项 系 数 之 和 为 a0 a2 a4 f（1）f（1）2，奇 次 项 系 数 之 和 为 a1 a3 a5 f（1）f（1）2，令 x0，可得 a0f(0)考点三 二项式定理的综
11、合应用命题点 合理构造二项式用二项式定理求余数或进行近似计算(1)求证：122225n1(nN*)能被 31 整除；(2)求 SC127C227C2727除以 9 的余数；(3)根据下列要求的精确度，求 1.025 的近似值(精确到 0.01)解析：(1)证明：122225n125n121 25n132n1(311)n1 C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn1 31(C0n31n1C1n31n2Cn1n)，显然 C0n31n1C1n31n2Cn1n为整数，原式能被 31 整除(2)SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C991 9(C0998
12、C1997C89)2.C0998C1997C89是正整数，S 被 9 除的余数为 7.(3)1.025(10.02)51C150.02C250.022C550.025150.021.10.(1)利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧(3)利用二项式定理证明不等式：由于(ab)n 的展开式共有 n1 项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的多次应用二项展开式通项公式搭配不全典例(x22)1
13、x21 5的展开式的常数项是()A3B2C2D3正解 二项式1x21 5展开式的通项为：Tr1Cr51x2 5r(1)rCr5x2r10(1)r.当 2r102，即 r4 时，有 x2C45x2(1)4C45(1)45；当 2r100，即 r5 时，有 2C55x0(1)52.展开式中的常数项为 523，故选 D.答案 D易误(x22)与1x21 5的各因式的积为常数项，不只是 2与(1)的积，还有 x2 与 x2 的积也为常数 警示 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果(xy)(xy)8 的展开式中 x2y7 的系数为(用数字填写答案)解析：x2y7x(xy7)，其系数为 C78，x2y7y(x2y6)，其系数为C68，x2y7 的系数为 C78C6882820.答案：201考前必记(1)二项式定理及通项(2)二项式系数与项的系数性质2答题指导(1)看到展开式中求二项式系数或项的系数，想到二项展开式的通项，运用方程思想进行求值(2)看到求展开式的各项的系数和，想到赋值法解决课时规范训练