1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理 学 习 目 标核 心 素 养 1理解演绎推理的含义(重点)2掌握演绎推理的模式，会利用“三段论”进行简单的推理(重点、易混点)1通过演绎推理的学习，培养学生逻辑推理的核心素养2借助“三段论”的应用，培养学生逻辑推理的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出_的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由_的推理某个特殊情况下一般到特殊2“三段论”一般模式常用格式 大前提_M 是 P小前提_S 是 M 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S 是 P 已知的一般原理所研究
2、的特殊情况思考：如何分清大前提、小前提和结论？提示 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义1“四边形 ABCD 是矩形，所以四边形 ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等B 得出“四边形 ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩
3、形的对角线相等”2三段论：“小宏在 2019 年的高考中考入了重点本科院校；小宏在2019 年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；小宏在2019 年的高考中正常发挥”中，“小前提”是_(填序号)在这个推理中，是大前提，是小前提，是结论3下列几种推理过程是演绎推理的是_两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A 和B是两条平行直线的内错角，则AB；金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；由圆的性质推测球的性质；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 是演绎推理；是归纳推理；是类比推理4用三段论证明命题：“任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a20”，你认为这个推理的错
4、误是_大前提 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a20”显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的合 作 探 究 释 疑 难 演绎推理与三段论【例 1】(1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
5、(2)将下列推理写成“三段论”的形式：向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；0.332是有理数；ysin x(xR)是周期函数(1)B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大、小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大、小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式(2)大前提：向量是既有大小又有方向的量小前提：零向量是向量结论：零向量也有大小和方向大前提：所有的循环小数都是有理数小前提：0.332是循环小数结论：0.332是有理数大前提：三角函数是周期函数小前提：ysin x(xR)是三角函数结
6、论：ysin x(xR)是周期函数把演绎推理写成“三段论”的一般方法(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟进训练1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理中“三段论”中的_是错误的小前提 f(x)sin(x21)不是正弦函数，故小前提错误2将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，
7、所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则AB；(3)通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列解(1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形的对角线互相平分(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，小前提：A，B 是等腰三角形的底角，结论：AB.(3)大前提：数列an中，如果当 n2 时，anan1 为常数，则an为等差数列，小前提：通项公式为 an2n3 时，若 n2，则 anan12n32(n1)32(常数)，结论：通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列.用三段论证明几何问题【例 2】正三棱柱 ABC-A1
8、B1C1 的棱长均为 a，D，E 分别为 C1C与 AB 的中点，A1B 交 AB1 于点 G.求证：(1)A1BAD；(2)CE平面 AB1D.证明：(1)连接 A1D，DG，BD.三棱柱 ABC-A1B1C1 是棱长均为 a 的正三棱柱，四边形 A1ABB1 为正方形，A1BAB1.D 是 C1C 的中点，A1C1DBCD，A1DBD.G 为 A1B 的中点，A1BDG，又DGAB1G，A1B平面 AB1D.又AD平面 AB1D，A1BAD.(2)连接 GE.EGA1A，GE平面 ABC.DC平面 ABC，GEDC，GEDC12a，四边形 GECD 为平行四边形，CEGD.又CE平面 AB
9、1D，DG平面 AB1D，CE平面 AB1D.1用“三段论”证明命题的格式 (大前提)(小前提)(结论)2用“三段论”证明命题的步骤：(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟进训练3如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD的中点求证：EF平面 BCD.证明 三角形的中位线平行于第三边，(大前提)点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，(小前提)所以 EFBD.(结论)若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，(大前提)EF平面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，(小前提)EF平
10、面 BCD.(结论)用三段论证明代数问题探究问题1数的大小比较常见方法有哪些？提示 作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取 0 或 1 作为媒介)等2证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明 提示 证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明 3判断数列是等差(等比)数列的依据是什么？提示 判断数列是等差(等比)数列的依据是等差(等比)数列的定义.【例 3】(1)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5z
11、B5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z(2)已知函数 f(x)axx2x1(a1)，证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数思路探究：(1)借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；(2)利用函数的单调性或导数法求解(1)D 令 t2x3y5z，x，y，z 为正数，t1.则 xlog2tlg tlg 2，同理，ylg tlg 3，zlg tlg 5.2x3y2lg tlg 23lg tlg 3lg t2lg 33lg 2lg 2lg 3 lg tlg 9lg 8lg 2lg 30，2x3y.2x5z2lg tlg 25lg tlg 5lg t2lg 55lg 2lg 2lg 5 lg tl
12、g 25lg 32lg 2lg 50，2x5z，3y2x5z.故选 D.(2)解 法一：(定义法)任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)ax2x22x21ax1x12x11 ax2ax1x22x21x12x11 ax1(ax2x11)x11x22x12x21x21x11 ax1(ax2x11)3x2x1x21x11.因为 x2x10，且 a1，所以 ax2x11.而1x1x2，所以 x110，x210，所以 f(x2)f(x1)0，所以 f(x)在(1，)上为增函数 法二：(导数法)f(x)axx13x1 ax1 3x1.所以 f(x)axln a3x12.因为 x1
13、，所以(x1)20，所以3x120.又因为 a1，所以 ln a0，ax0，所以 axln a0.所以 f(x)0.于是得 f(x)axx2x1在(1，)上是增函数五类代数问题中的三段论(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式(4)数列问题：数列的通项公式，前 n 项和公式的应用，证明等差数列和等比数列(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.跟进训练4已知 2a3，2b6，2c12，则
14、 a，b，c 的关系是()A成等差数列但不成等比数列B成等差数列且成等比数列C成等比数列但不成等差数列D不成等比数列也不成等差数列A 由条件可知 alog23，blog26，clog212.因为 aclog23log212 log2 362log2 62b，所以 a，b，c 成等差数列 又因为 aclog2 3log2 12(log2 6)2b2，所以 a，b，c 不成等比数列故选 A.5已知函数 f(x)2x12x1，求证：函数 f(x)是奇函数，且在定义域上是增函数证明 f(x)2x122x1122x1，所以 f(x)的定义域为 R.f(x)f(x)122x1 122x1 222x122x
15、1 222x1 22x2x1 222x12x1 220.即 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数 任取 x1，x2R，且 x1x2.则 f(x1)f(x2)122x11 122x21212x2112x11 22x12x22x212x11.由于 x1x2，从而 2x12x2，2x12x20，所以 f(x1)f(x2)，故 f(x)为增函数课 堂 小 结 提 素 养 1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成
16、的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明1平行于同一直线的两直线平行，因为 ab，bc，所以 ac，这个推理称为()A合情推理 B归纳推理C类比推理D演绎推理D 本题的推理模式是三段论，故该推理是演绎推理2三段论只有船准时起航，才能准时到达目的港；这艘船是准时到达目的港的；这艘船是准时起航的，其中大前提是()A B C DA 根据三段论的定义，为大前提，为小前提，为结论，故选 A.3有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f(x)，若 f(x0)0，则 xx0 是函数 f(x)的极值点，因为 f(x)x3 在 x0 处的导数值为 0，所以
17、x0 是 f(x)x3 的极值点，以上推理()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确A 大前提是“对于可导函数 f(x)，若 f(x0)0，则 xx0 是函数 f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数 f(x)，如果 f(x0)0，且满足在 x0 附近左右两侧导函数值异号，那么 xx0 才是函数 f(x)的极值点，所以大前提错误故选 A.4函数 y2x5 的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_.小前提：_.结论：_.一次函数的图象是一条直线 函数 y2x5 是一次函数 函数y2x5 的图象是一条直线 本题忽略了大前提和小前提大前提为：一次函数的图象是一条直线小前提为：函数 y2x5 为一次函数结论为：函数 y2x5 的图象是一条直线5.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90.证明 因为任意三角形内角之和为 180(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为 180(结论)设直角三角形两个锐角分别为A，B，则有AB90180，因为等量减等量差相等(大前提)，(AB90)9018090(小前提)，所以AB90(结论)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!