1、导数参数范围数学高考G.导数，高考中新的“经济”增长点1、利用导数研究函数的单调性问题设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0则f(x)为减函数。反之亦然。高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。(20)(安徽文 本小题满分14分)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，将f(x)的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.20（福建文 本小题满分12分）设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取
2、值范围2、利用导数求解函数极（最）值问题设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。高考常结合求函数极值(最值)、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。19（北京理 本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值19（湖南理 本小题满分12分）如图4，
3、某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论AEDBHP3、利用导数的几何意义解决有关切线问题函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线y=f
4、(x)在点(x0.f(x0)处切线的斜率。高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。19.(全国二理 本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：4、利用导数求解参数的取值范围或恒成立的不等式问题构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值范围等问题。设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。21. (陕西文 本小题满分12分)已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又()求的解析式;()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.（22
5、）（浙江理 本题15分）设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立5、利用导数知识求解数列问题数列是一类特殊的函数，因此利用导数的知识来研究数列的有关问题，能取到简化运算的效果。设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.F. 函数与导数经典例题剖析题型1:函数的概念及其表示例1、设函数则的值为（ ）ABCD例2、已知，则的值等于 例3、设 ，又记则 （ ）A； B； C； D；【解析】
6、:本题考查周期函数的运算。，据此，因为型，故选.点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。题型2:函数图象与性质例4、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ） A B C D【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。点评函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学
7、生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。题型3:函数的零点例6、函数的零点所在的区间是 ）AB（1，10）CD【解析】：因为f（1）010，f（10）10，即f（1）f（10）0，所以函数f（x）在区间（1,10）之间有零点。例7、已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。【解析】当a=0时，函数为f(x)=2x -3，其零点x=不在区间-1，1上。当a0时，函数f(x) 在区间-1，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或解得1a5或a= 函数在区间1，1上有两个零点，此时 或解得a5或a0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+20, 即-
8、2a1. -2a0. 综合、可知，实数a的取值范围是-2af(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)解析：由已知得y=f(x)的对称轴为x=8，f(x)在上为减函数，则f(x)在上为增函数，所以f(6)=f(10)0，且； （2）方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根. 解析：（1）因为，所以. 由条件a+b+c=0，消去b，得ac0；由条件a+b+c=0，消去c得.故. （2）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得. 又因为，而，所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根. 故方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根. 点评高考对三个“二次”的联考，常存常新，特别是
9、充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了。1.1.3函数与不等式的综合问题题4设函数. （1）证明：的导数；（2）若对所有都有，求a的取值范围. 解析 （1）略；（2）令，则，（1）若，当x0时，故g(x)在(0，+)上为增函数，所以，x0时，即. （2）若a2，方程的正根为，此时，若，则，故g(x)在该区间为减函数. 所以，时，即，与题设相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是点评：导数知识与不等式知识的结合求解一类参数的取值范围，是在知识的交汇点上设计的题目，能考查学生对各知识点进行渗透及综合分析问题的能力，每年的高考都有不少这样的题，今年也如此. 1.2 数列与不等式数列与不等
10、式既是高考的主干知识，又是数学高考的重点内容之一，近几年的高考试题中，既注重数列、极限等自身内容的综合，也注重考查思维能力，在数列与不等式这一部分，常以压轴题的形式出现，它主要从以下几个部分考查：1.2.1 等差、等比数列 题5等差数列an的前n项和为（1）求数列的通项与前n项和Sn；（2）设，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 解析：（1）由已知得故（2）由（1）得. 假设数列bn中存在三顶bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则，即 与pr矛盾. 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列. 点评：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前
11、n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力. 1.2.2 递推数列. 递推数列是近几年高考命题的一个热点内容之一。常考常新模型化归是解题的常用方法：化归为等差或等比数列解决；借助数学归纳法解决；推出通项公式解决；直接利用递推公式推断数列的性质解决. 题6在数列an中，其中. 求数列an的通项公式. 解析方法1：根据已知条件得，据此猜想，然后用数学归纳法证明如下：（略）方法2：将两边同除以，则即：. 令. 则. bn为等差数列，公差d=1. 且 从而，. 点评解法1通过求出的基础上，猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法给出证明，而解法2利用等价转换的思想，将
12、数列转化为等差数列，注重了对能力的考查. 1.2.3 数列与不等式数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式、求不等式中的参数范围、求数列中的最大项、最小项、比较数列中的项的大小关系、研究数列的单调性等问题. 数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段，如比较法、放缩法、函数法、反证法，均值不等式法、数学归纳法、分析法等. 因此，这类问题解决方法相当丰富，是考查逻辑推理、演译证明、运算求解、归纳抽象等理性思维推理以及数学联结能力的好素材. 题7，已知数列满足，并且（为非零参数，n=2,3,）（1）若成等比数列，求参数的取值范围. （2）当0时，证明；（3）当1时，证明解析：（1）
13、（略）（2）由已知，及，可得由不等式的性质，有另一方面，. 因此，故. (3)当1时，由（2）可知又由（2），则从而因此. 点评：本题中的（2）是利用不等式的性质进行证明的，而（3）利用放缩法转化数列求和进行证明的. 1.3 三角与向量1.3.1 三角的恒等变换 题8已知且. （1）求值；（2）求. 解析：（1）由得于是（2）由，得又. 由得 所以点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式，三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力. 1.3.2三角函数的图象与性质. 题9函数的图象为C. 图象C关于直线对称；函数f(x)在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 以上三
14、个论断中，正确论断的序号是 。解析将代入函数得3.正确；令，即正确；将x的图象向右平移个单位得错误，答案：. 点评：考查三角函数的图象与性质. 1.3.3向量的运算. 向量的平行、垂直及平面向量的数量积是向量运算中的重要的考点，2008年仍在此命题，仍以客观题出现. 例10如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A2BC4D解析：又，且BDDC,AB/DC. 延长AB到E，使BEDC（如图），连CE，则CDDB. CEAE，AEC是等腰直角三角形，EAC45. 答案C点评：本题考查向量的基本运算. 1.3.4 三角形内的三角函数. 三角形内的三角函数问题主要考查解三角形、三角形形状的判定，三角
15、形内的恒等变换. 题11已知ABC的周长为，且（1）求边AB的长；（2）若ABC的面积为，求角C的度数. 解析（I）由题意及正弦定理，得两式相减，得AB1.（II）由ABC的面积得由余弦定理，得. 点评：本题充分利用正弦定理和余弦定理解三角形. 1.4 排列、组合、二项式定理、概率与统计 1.4.1 排列组合问题. 具体解题策略如下：（1）相邻问题，捆绑为一；（2）不相邻问题，插空处理；（3）特殊优先，一般在后；（4）定序问题只选不排（或先排后除）；（5）元素相同排列，定序处理；（6）条件交叉，容斥原理；（7）平均分堆，先分后除；（8）不同球入盒，先分堆后排列；（9）相同球入盒，隔板处理；（1
16、0）正难则反，排除法处理；1.4.2 二项式定理. 二项式定理主要考查二项展开式及展开式的通项，并利用通项求特征项或特征项的系数，并注意系数与二项式系数的区别。一般以客观题形式出现，题目较为基础. 1.4.3 概率与统计. 概率与统计的引入拓宽了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的极好素材. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法. 随机变量是理科高考的必考内容，其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差最热点. 题
17、型以解答题为主，以选择题、填空题为辅. 这种形势有可能发生变化，即有可能转变为以客观题为主. 文科主要是抽样方法的考查，以客观题为主. 题12在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好将笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以表示笼内还剩下的果蝇的只数. （1）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（2）求数学期望E；（3）求概率P（E）. 解析：（1）的分布列为0123456P（2）数学期望为（3）所求的概率为点评：本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随
18、机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力. 1.5 立体几何立体几何的线面关系是重点考查内容，特别要注意的是，对一道试题可以用二种方法选用，特别强调用向量法解决问题. 其中，一线与一面垂直是热点，中点是常考，正方体是重要模型。总之，立体几何常从以下几个方面考查. 1.5.1 位置关系的判断或证明. 题13 已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题：mn, m n； /，m, nm/nmn, mn； ，mn，mn；其中正确的序号是（ ）A、B、C、D、解析：由，m, nmn或m、n异面，错由mn，man或n, 错，故选C.答案：C. 点评：本题考查两直线与
19、平面垂直问题，是两平行直线垂直同一平面，是两平行直线与两平行平面中的一个垂直，则与另一平面也垂直. 1.5.2 空间的距离和空间的角题14 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. （1）求证：AB1平面A1BD；（2）求二面角AA1DB的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离；解析：（1）取BC 中点O，连结AO，正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD，AB1BD. 在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD. （2）设AB1与
20、A1B交于点G，在平面A1BD中，作CFA1D于F，连结AF，由（1）得AB1平面A1BD，AFA1D, AFG为二面角AAD1B的平面角. 在AA1D中，由等面积法可求得AF=,又，所以二面角AA1DB的大小为. （3）A1BD中，BD=A1D=，在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为设点C到平面A1BD的距离为d. 由得 点C到平面A1BD的距离为. 点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识。考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.此题还可以用空间向量的方法解答 1.5.3 有关面积与体积的计算计算几何体的体积问题，应记住相应的几何体的体积公式，要
21、边证明边计算，一般会涉及到割补问题、特定位置问题，涉及到多面体、正棱柱（锥）以及球的性质。求体积、面积的最值时，往往还会选择导数方法来处理. 题15直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此几何体的体积. 解析本题的几何体体积可转化为求三棱柱A1B1C1A2B2C2和四棱锥BAA2C2C体积的和，由已知，三棱锥A1B1C1A2B2C2和四棱锥BAA2C2C的体积都很容易求解. 过B作截面BA2C2/面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2. 作BHA2C2于H，连CH.
22、 A1B1=B1C1=1，所以，=. . .点评本题是将所求几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，从而用规则的几何体求积方法求解，用割补方法解决此类问题较为合理. 1.6 平面解析几何圆锥曲线主要从以下四个方面考查：以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；求平面曲线的方程和轨迹；圆锥曲线的有关元素计算、关系证明和范围确定；涉及与圆锥曲线对称变换、最值和位置关系有关的问题. 综合以上知识，归纳如下：1.6.1 直线与圆题16 设m为实数，若，则m的取值范围是 . 解析 题中所给的集合关系为两个点集的关系，记O(0, 0), C(3，4)，借助图形并结合分析，若mb0)的左、右焦点分别为F1，F
23、2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为. （1）（略）（2）设Q1、Q2为椭圆上两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程. 解析 （II）设点D(x0, y0)，当y00时，ODQ1Q2， ，Q1Q2方程为y=kx+m，Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)满足 ，故, 又，由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0，有. 当y0=0时，x=x0, Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)满足， ，由于x1x2+y1y2=0，即 ，D为坐标仍满足方程. 点评 直线与圆锥曲线的位置关系是高考中重中之重，应熟练掌握解决此类
24、问题的基本思想与方法，即方程组思想，在设直线方程时，应考虑到直线垂直于x轴的特殊情况，分类讨论等，在用韦达定理时，不能忘记0的条件. 1.6.5 定值与最值及参数的取值范围题20 设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值. （2）设过定点M(0, 2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围. 解析（1）设P(x, y)，则，又 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2.时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1. （2）直线x=0不满足条件，可设直线,由得 ,，令，得.又，故cos0， .
25、即，又， k24，即2k2. 综上有.点评 本题是求最值与参数的取值范围。这类问题涉及面广、条件隐蔽，能力要求高。常见思想有： 根据问题中显性条件或隐蔽性条件构建各变量的不等式组， 如利用圆锥曲线的有界性、判别式、二次方程根的分布，点与曲线的位置关系（右支、左支等）；根据变量间的关系，构造变量的目标函数，通过求函数的值域或最值来确定；根据平面几何性质求变量的最值. 2. 注重知识交汇交叉，整合重组模式多样由于高考试题有区分选拔功能，在考查基础知识的同时，还要注重能力的考查，确立能力立意命题的指导思想。因此命题时，特别注意知识之间的交叉、渗透与整合，命题者常常在知识的整合、交汇点上设计试题，应当
26、特别关注下列整合模式. 2.1 平面向量与其也知识点的整合由于平面向量具有代数式与几何双重形式的身份，具有极其丰富的数与形的教学背景和很强的工具性能，因此成为高考中能力考查的一大新热点. 2.1.1平面向量与代数的整合例如：（湖北卷）已知向量ab，若函数ab在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围. 答案：t5.2.1.2平面向量与三角函数的整合例如：（山东卷，17）已知向量m和n ，且|m+n|=，求. 答案：. 2.1.3平面向量与解析几何的整合例如：（全国卷I）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a（3，1）共线. （1）求椭
27、圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. 答案：略2.1.4平面向量与平面几何的整合例如：（湖南卷）P是ABC所在平面上一点，若，则点ABC的（ ）A、外心B、内心C、重心D、垂心答案：D2.2 数学期望与其他知识的整合数学期望，作为新增的教学内容，既是教学重点，又是教学难点，近年来出现的数学期望与其它知识点整合的高考试题，让人耳目一新. 2.2.1数学期望与函数的整合例如：（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市游览的景点与没游览的景点数之差的绝对值. （1）求的分布
28、列及数学期望；（2）记“函数f(x)=x23x+1在区间2，+）上的单调递增”为事件A，求事件A的概率. 答案：（略）2.2.2数学期望与解析几何的整合例如：（全国卷III）设l为平面上过点(0, 1)的直线，l的斜率等可能地取，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E= . 答案：. 2.2.3数学期望与数列的整合例如：（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白球的数量比为s:t，现在从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其中放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （1）求的分
29、布列；（2）求的数学期望；答案：（略）2.3 导数与其他知识的整合导数是研究函数的重要工具，近两年来已出现导数在研究不等式及向量、三角函数等方面的综合试题. 2.3.1导数与不等式的整合例如：（湖南卷）设f(x)、g(x)分别定义在R上的奇函数，当x0时，且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A、B、C、D、答案D2.3.2三角导数与向量的整合例如：（江西卷）已知向量a，b=，令f(x)ab，是否存在实数，使（其中是f(x)的导函数），若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之. 简解：由，得，但此时无意义，故不存在这样的实数x. 3. 应用问题有规可循，偶尔出人意料之外应用性
30、问题，近年来，一改过去应用问题局限于函数及不等式的范畴，在线性规划、导数及概率、期望两年内就出现许多内容新颖、贴近生活的优秀试题，2008年应重点关注下列4种模式的应用题. 3.1利用线性规划求值例如：（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价格为140元；另一各是每袋24kg，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费 元. 解析：设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则35x+24y106,xN, yN, 共要花费z=140x+120y. 作出35x+24y106，xN, yN对应的可行域，目标函数z=140x+120y在格点（1，
31、3）处取最小值500元，填500.3.2利用导数求最值例如（辽宁卷）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的甲方的情况下，乙方的利润x(元)与年产量(t)吨满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）；(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 答案
32、略3.3概率和期望的实际应用例如（天津卷）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果. 投资成功投资失败192次8次则该以司一年后估计可获收益的期望是 （元）. 答案67603.4正态分布与线性回归的应用例如（07广东卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据. x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生
33、产以能耗为90吨标准煤，试根据（II）求出线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5） 答案略又如： 2006年湖北、2007年连续两年都考查了正态分布问题. 4. 高考新题层出不容，设计线索扑朔迷离4.1 “即时定义”题层出不穷所谓即时定义题，就是在试题的叙述中当场给出一个概念，概念的给出常伴有“设”“称”“规定”“定义”等字眼，然后再根据这个概念现学现用来解题. 这一类试题考生往往比较陌生，但又有新意. 例如：（辽宁卷）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x成立，则（ ）A、1a1B、0a1时，；（2）对于n
34、6，已知，求证：，（3）求出满足等式的所有正整数n. 数论是数学的一个重要分支，整数的基本性质是其中最为重要的部分. 本题具有很多的高等数学背景，第1问可由伯努利不等式借助导数得证，第3问不定方程问题，它具有勾股定理，费尔马大定理，埃斯柯特猜想等背景，本题选材、立意时代感强，此类试题在高考中较为常见. 4.4.3以函数的上下确界为设计线索例如：定义在D上的函数f(x)，如果满足：常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）试判断函数在1, 3上是不是有界函数？请给出证明；（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M1为的上界
35、的有界函数，求实数a的取值范围. 答案略有界函数是数学分析的一个基本概念。本题以高观点为背景，通过给出的定义（设置新情景），考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解不等式恒成立问题的能力. 4.4.4以图论知识为设计线索例如：对大于或等于2的自然数m的n次宽幂进行如下图的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为 . 图论作为一个数学分支，与计算机有关学科的学习与研究有着密切的关系，本题通过图形语言传递给我们一种信息，即按一定的规则进行“分裂”，本题的求解过程中融入了等差数列的知识，使试题的创新有了坚实的基础. 4.4
36、.5以级数的收敛性为设计线索例如：设数列an的前n项（1）求首项a1与通项an；（2）设 证明：. 以高等数学中的级数收敛性为背景，以数列和不等式的知识为载体，考查了转化思想以及分析问题和解决问题的能力，此类问题有时比较复杂，此时数学归纳法和放缩性是基本解法，放缩时应注意放缩的目标，应以我们熟悉的基本求和方法所适用的数列为准，此类问题在高考中屡见不鲜. 表述方法带有高等数学色彩的试题还有许多，如函数的凹凸性、介值定理、行列式、线性有关、分形几何等，剖析这类试题，不难看出他们往往以新定义的概念或是简单解法的形式出现在高考试卷中，充分体现了中学数学与高等数学在形式上、思想方法上或是知识上的和谐衔接
37、，这些题目形式新颖，将各种能力的考查融于一身，已成为高考一道独特的风景，值得引起我们的注意，尤其是能力较强的学生可在老师指导下，阅读一点高等数学书籍以便争创高分或满分. C. 高考题型解题技巧必做题部分由填空题和解答题两种题型组成如何快速、准确地进行解答，下面介绍一些常用的方法：一、填空题填空题是一种传统题型，它是一个不完整的陈述句形式，填写的可能是一个词语、数字、符号、数学语句等根据所填写内容的形式，可将填空题分成两类：一是要求填写数值、数集、数量关系的，如方程、不等式的解集，函数的定义域、值域、最大(小)值，线段的长度，角的度数等，称为定量型；二是要求填写具有某种性质的对象或给定某种数学对
38、象的性质的，如曲线方程、焦点坐标、离心率等，称为定性型填空题的解法大致有以下几种：直接求解法：直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、常用结论等解得结果；特例求解法：当题目暗示结论唯一或结果为定值时，可取特例求解；数形结合法：借助于图形进行直观分析，辅以计算得出结果；等价转化法：把题设中复杂的、抽象的问题转化为简单的、具体的问题来解决；编外公式法：编外公式是指从课本或习题中总结出来的“真命题”，用于解答填空题具有起点高、速度快、准确性强等优点；逆向思维法：从未知入手，寻求使结论成立的原因，从而使问题得解填空题不需要解题过程，可以省去某些步骤，大跨度前进，配合心算、速算，力求快速，避免“小题大
39、做”由于只看最后结果，不设中间分，因此对正确性要求较高，解答过程中要力求准确无误，填写的结果要规范，如结果要化为最简，解集要用集合表示，根式要化为最简，实际量要注意单位等二、解答题2008年数学试卷解答题6题共90分，其中前三题属于中等难度题，后三题是比较难的题，如何在有限的时间内发挥自己的水平，做好做对解答题，对学生的数学成绩的影响可是几分、十几分甚至更多。根据以往的经验要做好以下几点： (一)审题审题，实际上是分析问题和解决问题的思维过程，要保持清醒的头脑，有清浙的思路审题要慢，要正确审出题意，必须逐字逐句经过大脑“过滤”，千万不要“想当然”，一方面要看清题目要求，另一方面是看清题目本身，
40、力求准确无误。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至多至少”，“a0”，自变量的取值范围等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向，这是正确解题的前提因而这一步不图快审题时要保持清醒的头脑，一旦某道题目的解答被“卡壳”时，不要紧张，要马上变换思维方式，换个角度、换个方位去思考，不要自己判定为“死刑”而放弃在历年大的考试中，常见审题方面出现的毛病是:(1)拿到试卷，急于作答，审题不细，导致漏笔或不按要求作答，导致失分;(2)审错题，答案不切题意要求，答案错误这些毛病应该克服(二)解题要将你的解题策略转化为得分点，就要用准确完整的数学语言将你的解题过程表述出来，这一点往往
41、被一些学生所忽视对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅，有的人解决的多，有的人解决的少.为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分.这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”踩上知识点就得分，踩得多就多得分. “分段得分”的基本精神是：会做的题目力求不失分；部分理解的题目力争多得分. 1.对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题.有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的会而不对.有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤对而不全.因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”
42、.经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”. 会做的题目书写要快，复查要慢有了解题思路，书写文字要快，以赢得时间复查的时候要特别注意，一是不要全部检查，因时间不允许，要有针对性地检查一先检查是否漏答，再根据草稿纸上记录的题号检查疑惑题目并争取在这里补上分数二是不要重复原来的思路，换个思路再思考这个问题，不仅要检查答案，而且还要检查问题的性质，看看自己是否真的把题目弄清楚了2.对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分.我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略.把你解题的真实
43、过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密. （1）缺步解答.如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”. （2）跳步答题.解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳
44、处”.由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有”一直做到底.也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面.若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答. （3）退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略.如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论.总之，退到一个你能够解决的问题.为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”.这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发
45、. （4）辅助解答.一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤.实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等.答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率.试题做完后要认真做好解后检查，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷. (三)处理好“三个”关系1“会做”与“得分”的关系许多考生在考试中经常是“心中有数”却说不清楚，扣分者不在少数只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”2快与准的关系在
46、目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时“习”练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分3难题与容易题的关系拿到试卷后，应将全卷通览一遍，做到三个心中有数：对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题；对每道题各占几分心中有数；大致区分一下哪些属于容易题，哪些属于中档量，哪些属于难题，以便合理地制定解题策略。通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。答题时一般来说应按先易后难、先简
47、后繁的顺序作答近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因个体差异学生对各个知识点掌握的程度也不一样，有些难题中部分小题并不难，因此，在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了B.高考备考建议1正确处理平时教学与高考备考之间的关系在有些人的教学观念中，早一点完成全部高中数学必考内容的教学，然后尽快进入高考复习，这才是数学教学的全部意义我们在这里暂且不去讨论这样做与数学教育的真正意义之间的差距，从实际效果看，这样做对于学生在高考中取得一定的考试成绩是有作用的但是，要使学生取得高水平的考试成绩却是困难的因此，正确处理好平时教学与高考备考之间的
48、关系是非常重要的 上图是笔者根据自己所教学生在高考中的表现总结出来的，它反映了学生数学学习的状态与考试成绩的关系一般说来，要使学生在高考中取得好成绩，必须使他们的数学学习状态同时达到“概念清，原理透，方法熟，思想通”通常，对数学的概念与原理，可以通过不断地重复学习，使学生在相对较短的时间内理解或掌握但是，对于方法与思想（特别是思想），是需要有较长的时间让学生练习与体会才能达到“熟”与“通”的状态的因此，在平常教学中，不仅要引导学生重视知识的学习，而且不能急于求成，要留有足够的时间让他们去悟出思想方法的真谛只有这样，才能真正让他们体会到学习数学的意义，并在高考中考出好成绩例1已知函数 ， 是方程
49、 的两个根（ ）， 是 的导数，设 ， （1）求 的值；（2）证明：对任意的正整数 ，都有 ；（3）记 ，求数列 的前 项和 答案：（1） ；（3） .分析：这个考题，与函数零点和方程的解的联系，用“二分法求方程的近似解”（见人教A版数学1），直线的点斜式方程（见人教A版数学2），数列的表示（见人教A版数学5），导数的几何意义，“用牛顿切线法求方程近似解”（见人教A版数学22），极限思想等等均有着密切的关系如果在平时教学中没有让学生体会好教科书上的内容，在高考时是很难完成好全部解答的例2设p、q为实数， 、 是方程 的两个实根数列 满足 ， ， （n = 3，4，）（1）证明： ；（2）求数列
50、 的通项公式；（3）若p = 1，q = ，求 的前n项和 分析：（1）本小题不仅仅是给大多数学生有一个得分的机会，更重要的在于揭露 与 的关系，即 可以用 表示出来， 也可以用 表示出来也就是说，在问题的解答中，可以选用 去表达所有结论，也可以选用 去表达所有结论（2）本小题当然可以直接用“特征根”的方法求解，但超出了高中数学的知识范围当然，也可以用待定系数法的方法求解：设 ，则 由 ，得 ，故 、 是方程 的两根，即有 从而将问题转化为等比数列来求解，但过程仍然不简单大家知道，在高中数学新课程中，不仅增加了一些新的数学知识，也增加了不少新的数学思想与方法如“合情推理”就是新增的属于思想方法
51、的内容在实际教学中，不少人没有重视这些新增内容的教学意义与育人意义在当今数学教学中，教师较多关注的是数学本身的逻辑体系，教学中演绎的过程多，但帮助学生通过观察、类比、归纳和概括而发现结论或提出猜想的教学过程少，实践证明这样的教学过程，对于学生思维的健康发展是不利的因此，在高中新课程的实施过程中，教师如果注意到了上述所说的问题，在教学中就会较好地落实选修系列1、2中增加“合情推理”的内容这样，对于上述高考试题就会有如下的思考：将 ， ， ，用 表示，试图从中发现 如何用 表示，但很难得出 如何用 表示基于（1）的结论，我们尝试将 ， ， ，用 进行表示，希望通过列举、归纳得到 的表示，这就是“合
52、情推理”由已知得猜想： 利用数学归纳法容易证明上式因此可以得到在上述过程中，由于较好地利用了合情推理，使得复杂的问题变简单了其实，为了方便学生作答，试卷还在公式列表中给出了下述公式：而上述公式，正是普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第二章“数列”的习题2.5B组中的问题（3）本小题实际上是（2）的一种特殊情形把 ， 代入 ，得 ，解得 由（2）得 再利用“错位相减求和法”可得 2关注新增内容的教学与备考在新课程中，增加了不少新的教学内容，如三视图、算法、统计、定积分（理科）等等，也增加了不少新的思想方法，如模型的思想，回归的思想，算法思想等等同时，重视培养学生的阅读与理解（特别是
53、图表）的能力例3客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 与时间 之间关系的图象中，正确的是（） 例4某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. 4 D. 例5（2007年的高考海南、宁夏理科第20题） 如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有
54、个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目（I）求 的均值 ；（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率附表： 例6（2007年的高考广东理科第17题）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；（3）已知该厂技改前 吨甲产品的生产能耗为 吨标准煤试根据（2）求出的线性回归方程，预
55、测生产 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值： ）例7请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P（1）证明：OMOP = OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K证明：OKM = 9023、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1： ，曲线C2： （1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2
56、公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， 写出 ， 的参数方程 与 公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由24、（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数 （1）作出函数 的图像；（2）解不等式 例8已知正数数列 的前n项和为 ，且有 ，求数列的通项 此题可以改为下列情景题：给定程序框图如右图所示，请根据程序框图解决下列问题：（1）若输入m的值为3，请依次写出输出的t的值；（2）对于输入的正整数m，记第n次输出的t的值为 ，求 的表达式.解：（1）当m=3时，输出的t的值依次是；（2）由第（1）题的结论，猜想：下面证明上述猜
57、想当 时，由（1）知猜想是正确的设 时，猜想正确，即 由程序框图表达的算法知道，所以，由 得 ， 由 ，所以得 ， 即 时猜想正确 根据数学归纳法，知猜想是正确的所以， 3高考备考中的“模特元定界”所谓“模”，就是思考问题中所涉及的数学模型是什么，是否有不同的模型可供选择，哪个数学模型是自己最熟悉的，在使用这个数学模型时要特别注意什么.所谓“特”，就是问题的特殊情形是什么，问题在特殊情形下的结论怎样，能否用特殊情形检验自己的结论的正确性.所谓“元”，就是问题中的数学对象是几元的，问题中的条件是几阶的，问题中条件的“阶数”与数学对象的“元数”是一个怎样的关系，能否由这个关系寻找到问题的解决途径.
58、所谓“定”，就是问题中数学对象的确定性，这常常涉及到数学对象的“元数”与问题中的条件“阶数”的关系，高考中的数学对象通常是确定的，或在条件的约束下是“一元数学对象”，因此，问题往往可以转化为研究一元函数，或有一个独立变元的方程，等等.所谓“界”，就是变化的数学对象的“临界”是什么，比如两个变量通常呈“不等”，但它们就是以“相等”作为“临界”的；再如变量的变化范围（如定义域、值域等等）通常以“最大”、“最小”为界.因此，通常以研究“临界”情形而决定其它情形，这也是分类讨论中要特别注意的情形.一般说来，在“模特元定界”所蕴含的思想指引下，通常都能找到问题的解决途径.下面举例加以说明.例9（2005
59、年高考广东数学第20题）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合（如图示1）.将矩形折叠，使点A落在线段DC上.（）若拆痕所在直线的斜率为k，试写出拆痕所在直线的方程；（）求拆痕的长的最大值. （图1）（图2）分析：（1）“模”：主要数学模型是直线的斜截式方程 （任何拆痕的斜率均存在）与分段函数；（2）“特”：折痕的特殊情形是过AD的中点、过点B、过点D、过AC的中点；（图3）（图4）（图5）（图6）（3）“元”：我们的数学对象是“拆痕”，它在平面直角坐标系中原本是一个二元对象，但在条件“将矩形折叠，使点A落在线段DC上”下
60、就成为了一元数学对象；（4）“定”：由于“拆痕”是一元数学对象，所以，当k确定后，截距b就随着确定了.因此，b一定可以用k表示出来；如果为简便还引进了其它n个变元，则一定可以找到关于这n+2个变元的n+1个等式；（5）“界”： “拆痕”的特殊情形不仅为我们写出其所在直线的方程提供了方便，也为我们求出“拆痕”的长的最大值指明了方向.解：设点A关于拆痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为（t，1）（ ）（）若 ，则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为 ；若 ，由 ，则， 从而线段AE的中点M的坐标为 ，故“拆痕”所在直线的方程为 综上所述，“拆痕”所在直线的方程为 （）
61、设“拆痕”的长为 （1）当“折痕”过AD的中点时（如图3）， ；当“折痕”过点B时（如图4），由于 求得 所以，当 时，“折痕”与y轴及 均有交点，分别求得为、 此时， 由于l是关于k的函数，它在 上是减函数，所以，当 时，（2）当“折痕”过点D时（如图5）， 所以，当 0, 若，则是单调递增函数，这与已知相矛盾，舍去。若，则是单调递减函数，。综上所述，当时，使在上是单调递增函数。注意问题：在已知函数（）是增函数（减函数），求参数范围时，应令（或）在D上恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使在D上恒等于0，若恒为0，则应舍去参数这个取值；而利用导数研究函数的单调性时，应注意在（）
62、内（或）是可导函数在（）内递增（或递减）的充分不必要条件。类型二：已知不等式恒成立，求参数的取值范围。例3设，若在上恒成立，求的取值范围。分析：由在上恒成立得，令则，0时，2，当;当，g(2)是函数的极小值等于2，恒有成立。例4已知，若当时，不等式恒成立，求m的取值范围。分析：，令0，得，当时，；当时，。所以是函数的极小值。而1，要使，则。归纳：已知不等式恒成立，求参数的取值范围的问题与类型一有相似的地方，都是以导数作为解决问题的工具，把参数分离出来，转化为求另一函数的值域问题。类型三：开放型的问题，求参数的取值范围。例5已知且。（1）设，求的解析式。（2）设，试问：是否存在，使在（）上是单调
63、递减函数，且在（）上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。分析：（1）易求c=1,（2），由题意在（）上是单调递减函数，且在（）上是单调递增函数知，是极小值，由得当，时，是单调递增函数；时，是单调递减函数。所以存在，使原命题成立。从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 福建省永定县城关中学 364100 童其林解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。背景之一：题目所
64、给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。例1：椭圆的焦点为F1、F2，点P(x, y)为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。解：设P(x1, y)，F1PF2是钝角cosF1PF2 =。说明：利用F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。（答案为 x，）例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD中，=2，
65、点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过点C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。解：如图，以线段AB的垂直平分线为 y 轴。因为双曲线经过点C、D，且与A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关y轴对称，依题意，记A，C(，h)，E(x0，y0), 其中c =为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点坐标公式得：x0=，y0=。设双曲线方程为=1，则离心率e =。由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e =代入双曲线方程得 由式得将式代入式，整理得：说明：建立与e的函数关系式，再利用已知的范围，即可求得e的范围。背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自
66、身的范围，如椭圆b0)中，x，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。例3：（2002年全国高考题）设点P到点M(1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。解：设点P的坐标为(x，y)，由题设得，即y = 由于x，所以点P(x，y)、M(1，0)、N(1，0)三点不共线，得因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线上，故=1将式代入，解得由且，得，又m(0, 说明：P到x轴、y轴距离之比为2，所以P不能在x轴上，由此得到m，这一隐含条件容易忽视。例4：（2004年全国卷理科21题 文科22题）设椭圆的两个焦点是F1(c, 0)与F2(c, 0) (c 0
67、)，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。(1)求实数m的取值范围；(2)设l相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于Q，若，求直线PF2的方程。解：(1)依题设有m11,即m 0，c =,设点P的坐标为(x0, y0)，由PFPF2 ，得 将与联立，解得x由此得 故m, +)(2)答案为y =() (x-) ( 解答略)背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。例5：（全国高考题）给定双曲线x= 1，过点B
68、(1，1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l不存在。当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为y = k(x1)1，联立，得。设。故满足已知条件的直线l不存在。例6：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解：(1)将直线代入双曲线方程，并整理得依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故(2)答案是存在满足题设。说
69、明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。背景之四：已知变量的范围利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。1、双参数中知道其中一个参数的范围；例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1, 0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m, 0)到直线AP的距离为1。(1)若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；(2)当时，的内心恰好是点M，求此双曲线的方程解：(1)由条件知直线AP的方程为，因为点
70、M到直线AP的距离为1，所以。故(2)答案是（解答略）例8：（2004年全国高考卷理科21题）给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。(1)设l的斜率为1，求的夹角的大小；(2)设，求l在y轴上截距m的变化范围。解：(1)答案为（解答略）。(2)F(1, 0), 设A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设, 得，即由得得联立、解得，依题意有得直线l方程为：当时，方程l在y轴上的截距。由，可知在上是递减的。故直线l在y轴上截距m的变化范围是。说明：例7和例8都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到
71、函数关系，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。2、双参数中的范围均未知例9：（2004年全国卷文2 理21）设双曲线与直线相交于不同的点A、B。(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。解：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程有两个不同的实数解，消去y并整理得：由双曲线的离心率故(2)略说明：先求出a的范围，再建立e与a的函数关系式，即可求出e的范围。例10：直线与双曲线的左支交于A、B两点，直线l经过点和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。解：由方程组，消去y得：设，AB中点，则有：设直线
72、l的方程为，则有，它在上单调递减。说明：这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点，在椭圆内（外）域的充要条件是；点在双曲线内（外）域的充要条件是；点在抛物线的内（外）域的充要条件是。以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式可获解。例11：（1986年全国高考题）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同的两点P，Q关于该直线对称。解：设中点，则：得，=又由、解得又点在椭圆内部，即。背景之六：三角
73、形两边之和大于第三边椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。例12：已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1、F2，左准线为l，在双曲线的左支上存在点P，使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项，求离心率e的取值范围。解：由|PF1|2 = d |PF2|又|PF2| = 2a|PF1|由、得|PF1|PF2|在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即。说明：因为P点还可能在双曲线顶点上，所以|PF1|PF2|F1F2|。背景之七：参数的几何意义解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多
74、的变量都有十分明显的几何意义，以此为背景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。例13：椭圆C的上准线是抛物线的准线，且C经过这条抛物线的焦点，椭圆的离心率，求椭圆的长半轴a的范围。解：设椭圆的上焦点为F(x, y)，由定义知，。故椭圆上焦点F的轨变是以A(0, 1)为圆心，半径为1的圆。由此易知焦点F到准线y = 1的距离p的范围是。又背景之八：平均值不等式解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方法。例14：已知直线l过定点A(3, 0)，倾斜角为，试求的范围，使得曲线的所有弦都不能被直线l垂直平分。解：当直线的斜率为0或不存在时，符合题意。
75、设直线l的方程为，被它垂直平分的弦的两端点为，则BC中点P。当线段BC被l垂直平分时，有。符合题意的直线斜率。说明：本题的求解利用补集法，即先求弦能被l垂直平分的直线l的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出的范围。背景之九：目标函数的值域要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。例15：是椭圆上任一点，F1、F2是两个焦点，求|PF1|PF2|的取值范围。解：|PF1|PF2| = 2a|PF1|PF2| = |PF1|(2a|PF1|) =(|PF1|a)2a2又当时, 有最小值b2; 当时, |PF1|PF
76、2|有最大值a2。故|PF1|PF2|的取值范围是。例16：如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q。(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨变方程；(2)若直线l不过原点且x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围。解：(1)设，依题意有。由过点P的切线的斜率为不合题意直线l的斜率直线l的方程为联立直线l和抛物线方程，消去y，得M是PQ的中点消去x1，得PQ中点M的轨迹方程为。(2)设直线l的方程为，依题意，分别过P、Q作轴，轴，垂足分别为、，则由方法1：y1、y2可取一切不相等的正数的取值范围是方法2：当时，当时，又由方程有两个相异实根，得，于是，即所以
77、当时，可取一切正数的取值范围是说明：利用图形找到与P、Q两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个问题的关键。求参数的取范围1、如果函数且在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）2、设，函数有最大值，则不等式的解集为 。3、方程 的解是 4、已知函数（1）若a0,则的定义域是 ;(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .5、设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是 6、设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是 7、已知函数，常数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围8、已知函数. （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求
78、实数的取值范围.9、已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。10、设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。11、设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由12、设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.13、设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围14、已知函数(
79、)证明：曲线（）若,求的取值范围。15、设，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得对任意0成立16、已知函数，其中常数满足（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的的取值范围17、已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上，恒成立，求的取值范围18、设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数19、设,讨论函数 的单调性2011-10-23参考答案1、函数y且可以看作是关于的二次函数，若a1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴0，矛盾；若0a1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0t
80、1)时，在t(0，1)上为减函数，即对称轴1，实数的取值范围是，选B.2、设，函数有最大值，有最小值， 0a1， 则不等式的解为，解得2x3，所以不等式的解集为.3、4、【答案】 , 【解析】（1）当a0时，由得,所以的定义域是; (2) 当a1时，由题意知;当0a1时，为增函数,不合; 当a0时，在区间上是减函数.故填.5、【答案】【解析】解法1显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此当时，函数在 是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得于是实数的取值范围是解法2然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此，因为，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小
81、值解得于是实数的取值范围是解法3因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得于是实数的取值范围是6、【答案】【解析】解法不等式化为，即，整理得，因为，所以，设，于是题目化为，对任意恒成立的问题为此需求，的最大值设，则函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值，所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是解法2同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题为此需求，的最大值设，则因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值从而有最大值所以，整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是解法3不等式化为，即，整理得，令由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使对任意
82、恒成立，必须使为最小值，即实数应满足 解得，因此实数的取值范围是解法4(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，恒成立，则对，不等式也成立，把代入上式得，即，因为，上式两边同乘以，并整理得，即，所以，解得或，因此实数的取值范围是 7、解：（1）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 （2）解法一：设， ， 要使函数在上为增函数，必须恒成立 ，即恒成立 又， 的取值范围是 解法二：当时，显然在为增函数 当时，反比例函数在为增函数，在为增函数 当时，同解法一 8、解 （1）当时，；当时，. 2分 由条件可知 ，即 ，解得 . 6分，. 8分 （2）当时，
83、 10分即 .， . 13分， 故的取值范围是. 16分9、解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。（其中）10、解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；切线的方程：(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：；又所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。11、解析：（I）的定义域为 令当故上
84、单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得12、【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.（2）令，得两根，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，从而在上的最大值为.13、解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减
85、少。（）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0.综合得的取值范围为14、【解析】() ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得所以曲线（）由得，（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。15、【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题【解】（1）由题设知，令0得=1
86、，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得。16、解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。，当时，则；当时，则。17、【解】（）当时，所以曲线在点处的切线方程为，即（）令，解得或针对区间，需分两种情况讨论：(1) 若,则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间上的最小值在区间的端点得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得，又因为，所以(2) 若，则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减极小值增所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得或，又因为，所以综合(1),(2), 的取值范围为.18、本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （）解：因为，所以由于，所以的增区间为，减区间为 （）证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得19、解：函数f(x)的定义域为（0，+）综上所述，f(x)的单调区间如下表：- 72 -
