1、第5讲复数考试要求1.复数的基本概念，复数相等的充要条件，B级要求；2.复数代数形式的四则运算，B级要求；3.复数的几何意义，复数代数形式的加、减运算的几何意义，A级要求知 识 梳 理1复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的
2、模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)诊 断 自 测1判断正误(
3、在括号内打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)原点是实轴与虚轴的交点()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小答案(1)(2)(3)(4)2(2016全国卷改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_.解析因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3.答案33在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_解析A(6,5)，B(2,3
4、)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.答案24i4(2015全国卷)若a为实数，且3i，则a_.解析由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4.答案45(选修22P110习题1改编)已知(12i)43i，则z_.解析2i，z2i.答案2i考点一复数的有关概念【例1】 (1)(2017南京模拟)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则z的虚部为_(2)(2017苏北四市联考)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a_.解析(1)由于zi(32i)23i，则其虚部为3.(2)是纯虚数，2a10且a20，a.答案(1)3(2)规律方法(1)复数的分
5、类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部【训练1】 (1)(2016全国卷改编)若z43i，则_.(2)(2017盐城模拟)若复数z134i，z2ai，且z12是实数(其中2为z2的共轭复数)，则实数a_.解析(1)43i，|z|5，i.(2)由题可得2ai，因为z12(34i)(ai)(3a4)(4a3)i是实数，所以4a30，解得a.答案(1)i(2)考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2014全国卷)设复数z1，z2在复平面内
6、的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2_.(2)(2016全国卷改编)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是_.解析(1)由题意得z22i，z1z2(2i)(2i)5.(2)由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限得解得3m1.答案(1)5(2)(3,1)规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可【训练2】 (1)(2017无锡期末)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为_(2)(2016北京卷)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面
7、内对应的点位于实轴上，则a_.解析(1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1,1)(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)(1,1)(2)1考点三复数的运算【例3】 (1)(2016全国卷改编)若z12i，则_.(2)(2015湖北卷改编)i为虚数单位，i607_.解析(1)i.(2)法一i607i41513i3i.法二i607i.答案(1)i(2)i规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22
8、i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)【训练3】 (1)(2016北京卷改编)复数_.(2)6_.解析(1)i.(2)原式6i61i.答案(1)i(2)1i思想方法1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识易错防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚
9、数不能比较大小3注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.基础巩固题组(建议用时：20分钟)1(2016四川卷改编)设i为虚数单位，则复数(1i)2_.解析(1i)212ii22i.答案2i2(2016江苏卷)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析(12i)(3i)35i2i255i，所以z的实部为5.答案53(2016山东卷改编)若复数z，其中i为虚数单位，则_.解析z1i，1i.答案1i4(2017徐州测试)若复数(m2m)mi为纯虚数，则实数m的值为_解析因为复数(m2m)mi为纯虚数，所以解得m1.答案15(2016全国卷改编)设(1i
10、)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|_.解析由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|.答案6已知a，bR，i是虚数单位，若(ai)(1i)bi，则abi_.解析由(ai)(1i)bi，得a(1a)i1bi，abi12i.答案12i7.(2017泰州模拟)如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若i(i为虚数单位)，则z2_.解析由题图可知复数z112i，则z2iz1i(12i)2i.答案2i8(2015江苏卷)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_解析设复数zabi，a，bR，则z2a2b22abi34i，a，bR，则(a，bR)，解得或则z(2i)，故|z|.答案
11、9(2017苏北四市联考)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于_解析由，由22bb4，得b.答案10若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析(3b)(3b)ii.解得ab3.答案3能力提升题组(建议用时：10分钟)11(2017南京师大附中模拟)在复平面内，复数(i为虚数单位)对应的点到原点的距离为_解析复数i(1i)1i对应的点(1,1)到原点的距离为.答案12(2017苏州调研)若复数z满足iz(1i)，则z的共轭复数的虚部是_解析iz(1i)z(1i)，则z的共轭复数(1i)，其虚部是.答案13(2017广州综合测试)若1i(i是虚数单位)是关于x的方程x22pxq0(p，qR)的一个解，则pq_.解析依题意得(1i)22p(1i)q(2pq)2(p1)i0，即解得p1，q2，所以pq1.答案114已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.答案特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.