1、回扣8解析几何1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(3)两点式：(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1l2k1k2.
2、(2)两直线垂直l1l2k1k21.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|.(2)点到直线的距离d(其中点P(x0，y0)，直线方程为AxByC0)(3)两平行线间的距离d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关
3、系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|点F不在直线l上，PMl于M标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e(e1)e1准线x渐近线y
4、x7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：|AB|x1x2|y1y2|.8解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域9定点问题的思路(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参
5、变量恒成立，令其系数等于零，得出定点10求解定值问题的两大途径(1)(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值11解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为1；再如，过定点
6、P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为yy0k(xx0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合5求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解6在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解8利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线
7、的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支9易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误10已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式0的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“0”下进行1直线2m
8、x(m21)y0的倾斜角的取值范围为()A0，) B.C.D.答案C解析由已知可得m0，直线的斜率k.当m0时，k0；当m0时，k1，又因为m0，所以0k1.综上可得直线的斜率0k1.设直线的倾斜角为，则0tan 1，因为00)相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为()A3 B2 C.D.答案A解析依题意知，抛物线的准线为x2，代入双曲线方程得y，不妨设A.FAB是等腰直角三角形，p4，求得a，双曲线的离心率为e3，故选A.8若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8答案C解析由题意得F(1,0)，
9、设点P(x0，y0)，则y3(2x02)x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因为2x02，所以当x02时，取得最大值，最大值为6，故选C.9已知函数yf(x)ax12(a0且a1)的图象恒过定点A，设抛物线E：y24x上任意一点M到准线l的距离为d，则d的最小值为()A5 B.C.D.答案C解析当x10时，y1，故A(1，1)，设抛物线焦点为F(1,0)，根据抛物线的定义可知，d的最小值为.10我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当F1PF230时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是()A74
10、B2C.1 D42答案B解析由题意设椭圆方程为1，双曲线方程为1，且cc1.由题意1，(*)由F1PF230及余弦定理，得椭圆中：4c24a2(2)|PF1|PF2|，双曲线中：4c24a(2)|PF1|PF2|，可得b(74)b2，代入(*)式，c4aa2(c2b)a2(84)c2a2(74)a4，即e4(84)e2(74)0，得e274，即e2，故选B.11已知直线l：mxy1，若直线l与直线xm(m1)y2垂直，则m的值为_；动直线l：mxy1被圆C：x22xy280截得的最短弦长为_. 答案0或22解析由两直线垂直的充要条件得m1(1)m(m1)0，m0或m2；圆的半径为3，当圆心(1
11、,0)到直线的距离最长，即d时，弦长最短，此时弦长为22.12已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|2，则|CD|_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.13已知F1，F2是双曲线1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_答案16解析由双曲线方程1知，2a8，由双曲线的定义，得|PF2
12、|PF1|2a8，|QF2|QF1|2a8，得|PF2|QF2|(|QF1|PF1|)16.|PF2|QF2|PQ|16.14在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点_答案(0,2)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2.又点Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过定点
13、(0,2)15已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知，直线l的方程为ykx1，因为l与圆C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.16已知圆F1：(x1)2y2r2与圆F2：(x1)
14、2y2(4r)2 (0r4)的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异的两点A，B满足直线MA，MB的斜率之积为.(1)求曲线E的方程；(2)证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标；(3)求ABM的面积的最大值(1)解设圆F1，圆F2的公共点为Q，由已知得|F1F2|2，|QF1|r，|QF2|4r，故|QF1|QF2|4|F1F2|，因此曲线E是长轴长2a4，焦距2c2的椭圆，且b2a2c23，所以曲线E的方程为1.(2)证明由曲线E的方程，得上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，x10，x20，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方
15、程为xx1，故y1y2，且yy3，因此kMAkMB，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxm，代入椭圆E的方程1，得(34k2)x28kmx4(m23)0.因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程有两个非零不等实根x1，x2，所以x1x2，x1x2，又kAM，kMB，由kAMkBM，得4(kx1m)(kx2m)x1x2，即(4k21)x1x24k(m)(x1x2)4(m)20，所以4(m23)(4k21)4k(m)(8km)4(m)2(34k2)0，化简得m23m60，故m或m2，结合x1x20知，m2，即直线AB恒过定点N(0,2)(3)解由0且m2得k或k，又SABM|SANMSBNM|MN|x2x1|，当且仅当4k2912，即k时，ABM的面积最大，最大值为.
