1、四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题 理（含解析）第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得：，则，故选B.2.若，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可知： ，则 .本题选择D选项.3.设是定义在上周期为2的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据的周期为2，则，再根据奇函数求解.【详解】因为的周期为2，所以；又是奇函数，所以所以故选B【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：
2、根据奇偶性、周期性把自变量化到有解析式的区间.4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元【答案】B【解析】试题分析：由题，所以试题解析：由已知，又因为，所以，即该家庭支出为万元考点：线性回归与变量间的关系5.设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
3、】由平面向量基本定理可得：，故选A.6.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】易知当时，循环结束；再寻找的规律求解.【详解】计算过程如下： 21 2 012341024 是是是是是是否当时，循环结束，所以输出.故选D.【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.7.等差数列中的、是函数的两个极值点，则（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】由，得，由，且是的极值点，得，则，故选C.8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.若，则或；定义域为的函数，函数为奇函数是的充分不必要条件；若，且，则的最小值
4、为A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】根据原命题与逆否命题真假关系；根据奇函数的定义与性质判断；根据基本不等式判断.【详解】当且时，成立，根据原命题与逆否命题真假一致，故正确；定义域为的奇函数必有，定义域为函数且满足不一定是奇函数，如，故正确；若，且，则当且仅当即时等号成立，故正确；故选D.【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的
5、成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A. 乙、丁可以知道自己的成绩B. 乙可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A【解析】【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的
6、成绩，故选：A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.在正方体中，点为线段的中点，设点在直线上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.【详解】由题意可得：直线OP于平面所成的角 的取值范围： 不妨取 .在中， . 的取值范围是 .故答案为：.【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键.11.函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
7、】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解： ，可得其最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型12.如图，已知，其内部有一点满足，命题最大值有可能超过36度；命题若三边长对应分别为，则；则正确的选项为（ ）A. 真假B. 假假C. 真真D. 假真【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理计算三边关系得到，得到命题q为真命题，根据角度关系得到内角和超过，故命题P为假命题，得到答案.【详解】方法1：在中，根据正弦定理得，即 在中，根据正弦定理得，即 由得，即.
8、 又，在中，根据正弦定理得，即得，. 为真. ，不是最长边，至少有一个超过，内角和超过，所以错误. 方法2：如图延长交的外接圆于点，则，. 又，. ，即，即.【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力.第卷二、 填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13.命题：，写出命题的否定：_【答案】，【解析】【分析】特称命题改为全称命题，把“”改为“”，“存在”改为“所有”，再否定结论.【详解】命题是特称命题，它的否定是全称命题，所以命题的否定为：，【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.14.曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，实数满足，则的取值范
9、围是_.【答案】【解析】【分析】先通过定积分计算面积得到，再通过线性规划得到答案.【详解】曲线与直线，所围成封闭图形的面积为 根据图像知：当时：为最小值当时：为最大值的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.15.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭圆得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，由题意抛物线的准线方程为 ，由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ，可得点P的横坐标为 ，纵坐标为 则有 ，所以 ，则 故答案为【点睛】本
10、题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出P点坐标是解题的关键.16.定义在区间上的函数恰有2个不同零点，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】首先的到 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案.【详解】定义在区间上的函数恰有2个不同零点易知：是一个零点.时：或且或故答案为：或【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力.三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上17.在中，角，所对应的边长分别为，已知，（1）求角；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）化简条件得：，即可得角；（2）由余弦
11、定理可得，再结合条件可得，进而得，再由正弦定理求得，进而可求面积.试题解析：（1）因为，所以，解得：，舍去，所以，又，所以（2）在中，因，由余弦定理得：又，所以，所以，又因为，由正弦定理得：，所以.18.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；并求出值（2）估计该校学生身高在之间的概率；（3）从样本中身高在之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率。【答案】（1）男生人数为400；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）用样本身高在之间的频数除以样本总数来
12、估计；（3）列举所有情况，根据古典概型的概率公式求解.【详解】解（1）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。由于以10%的比例抽取，所以样本中女生应该是30人，所以（2）由统计图知，样本中身高在之间的学生有人，样本容量为70，所以样本中学生身高在之间的频率，所以由估计该校学身高在之间的概率（3）样本中女生身高在之间的人数为4，身高在之间的人数为1。设表示事件“从样本中身高在之间的女生中任选2人，至少有1人身高在之间”，通过列举可得或者正面列举也是.【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型，属于综合题.分层抽样的要点是总体及各层的抽样比例相同；古典概型列举
13、所有基本事件时要有逻辑顺序，不要遗漏.19.如图，三棱柱中，侧面为菱形，. （1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值的绝对值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明且平分得到答案.（2）为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.详解】证明：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为与的中点，又，所以平面.由于平面，故. 又，故. （2）因为，且为的中点，所以. 又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标因为，所以为等边三角
14、形，又，则设是平面的法向量，则，即 所以. 设是平面的法向量，则，同理可取,，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知椭圆，与轴负半轴交于，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标。【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由椭圆与轴交于可得得值，结合与即可求解；（2）由，和两点斜率公式即可分别用表示，表示，再联立直线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解.【详解】（1）由题有，. ，.椭圆
15、方程为.（2）法1：，.又，同理又，此时满足直线恒过定点法2：设直线的方程为：则或，同理，当时，由有. ，同理又，当时，直线的方程为直线恒过定点，当时，此时也过定点综上直线恒过定点【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法.21.设函数，其中.（1）当时，的零点个数；（2）若的整数解有且唯一，求的取值范围.【答案】（1）只有一个零点（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现，再分和根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时的取值范围，求交集即可.【详解
16、】解：（1），当时，函数单增，且时函数值都已经大于0了；当时，函数单减，且，所以只有一个零点（2）观察发现，下证除整数0外再无其他整数 ，当时，根据同向不等式乘法得到，因为，所以，所以函数单增，且趋于时函数值显然很大很大；但要保证只有唯一整数0，需要，却发现恒成立，当时，要保证只有唯一整数0，首先需要，得到当时，根据同向不等式得到，又因，所以，所以函数在单减，且综上所述：的整数解有且唯一时，【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法：1、直接求出函数零点；2、根据函数单调性与极值判断；3、转化为两个函数的交点.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系下，已知圆和直线（
17、1）求圆和直线的直角坐标方程；（2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0（2）【解析】试题分析：（1）根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标，再根据化为极坐标试题解析：(1)圆O：cos sin ，即2 cos sin ，故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0.直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求