1、四川省成都市第七中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.已知为虚数单位，若复数,则（）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法化简复数，再根据复数模的计算公式，求出，最后选出答案.【详解】因为，
2、所以，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和复数求模公式，考查了数学运算能力.3.若，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，由于指数函数为增函数，且，A选项中的不等式不成立；对于B选项，由于对数函数在上单调递增，当时，B选项中的不等式不恒成立；对于C选项，由于幂函数在上单调递增，且，C选项中的不等式恒成立；对于D选项，取，则，但，D选项中的不等式不恒成立.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值
3、法来判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，的坐标，再根据投影公式：向量在方向上的投影为即可求得【详解】因为，所以向量在方向上的投影为.【点睛】本题考查向量在向量方向上的投影公式：，是基础题5.成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：558：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：559：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出该同学在之间随机到达教室的区间长
4、度，以及他听第二节课的时间不少于20分钟时随机到达教室的区间长度，即可求出概率值【详解】解：该同学在之间随机到达教室，区间长度为40；他听第二节课的时间不少于20分钟，应在之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在之间随机到达教室，听第二节课的时间不少于20分钟的概率是故选：【点睛】本题主要考查了几何概型中的长度类型问题，属于基础题6.已知数列an的前n项和为Sn，则“an是等差数列”是“是等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义证明求解.【详解】首先证“充分条件”：因为an是等差数列，所以
5、所以，所以常数，所以是等差数列证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列公差为，则所以当时，所以当时满足.所以常数，所以an是等差数列.故选C.【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.7.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】A【解析】【分析】首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.【详解】由函数的解析式可得：，函数为奇函数，则当时：.令可得.因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐
6、标之差的绝对值为结合最小正周期公式可得：，解得：.故函数的解析式为：.当时，函数在所给区间内单调递减；当时，函数在所给区间内不具有单调性；据此可知，只有选项A的说法正确.故选A.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.【详解】设公比为.由，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和
7、等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.9.椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线的渐近线斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线的渐近线斜率【详解】解：在椭圆，焦点坐标为，因为椭圆与双曲线焦点相同，则双曲线的焦点坐标为，即双曲线的，又因为这两条曲线的离心率之积为1，所以双曲线的离心率为：，解得，则所以双曲线方程为则双曲线的渐近线为，斜率为故选：【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，属于基础题10.已知函数为一次函数，若对，有，当时，函数
8、的最大值与最小值之和是（ ）A. 10B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】【分析】根据为一次函数，待定系数法求解，利用奇函数最值之和为定值0即可求解【详解】解：设由，可得，可得那么，那么令， 由，所以为奇函数，由奇函数的对称性可知.则， ，故选：【点睛】本题考查了奇偶性的应用和对数的计算属于基础题11.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出，再由，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示：，即，、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，
9、的最小值为，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.12.函数是定义在R上的函数,且满足,当时,则方程在的根的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求出函数f（x）在（0，5上的解析式，再在同一坐标系中作出函数f（x）与函数在（0，5的函数图象，观察图象即可求解【详解】.当时, ,当时, ,在同一坐标系中作出函数f（x）与函数在（0，5的函数图象如下所示：由图象可知，函数f（x）与函数在（0，5上有4个交点，即方程在（0，5的根的个数为4故选：B【
10、点睛】本题考查了用数形结合思想判断方程根的数目问题,根据题目中的等式求出函数的解析式是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“”的否定是：，故答案为：，【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，属于基础题14.年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10
11、米，则旗杆的高度为_米. 【答案】【解析】【详解】设旗杆的高度为米，如图，可知，所以，根据正弦定理可知，即，所以，所以米.点睛：1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(准确地画出图形)求解检验作答2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解15
12、.在棱长为1的正方体中，平面与正方体每条棱所成的角均相等，则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面三角形面积的最大值【详解】解：正方体的所有棱中，实际上是组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面时，满足平面与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形为平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者因为正三角形的边长为，所以最大截面为故答案为：【点睛】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于
13、中档题16.已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出命题：；若，则存在，使得；与所有极值之和一定小于0；若，且是曲线的一条切线，则的取值范围是.则以上命题正确序号是_.【答案】【解析】【分析】列出关系式求解与的关系，化简函数的解析式，利用函数的零点判断的正误；通过的范围，结合函数的图象判断的正误；求出极值之和判断正误；利用函数的导数结合函数的切线方程，转化推出参量的范围判断的正误即可【详解】解：正确；函数的导函数为：；且导函数的极值点是的零点得，当时，单调递减；当时，单调递增，故是的极小值点；即；函数有极值；中，；解得：；正确；当时，有两个不等的实根，设为，；由知，是的极小值点；，当 时
14、，单调递增，当 时，单调递减，当 时，单调递增，当时，当时， ，存在，使得；正确；由知极值为设有两个不等的实根，设为，；，的两个极值，与所有极值之和为： 正确；，当时，若解得，如图：且是的一条切线，设切点坐标，则，因为，故答案为：【点睛】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用三、解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）用“五点作图法”作出在一个周期内的图像；（2）在中，若函数在角处取得最大值，且，求周
15、长的最大值.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）化简求出函数的解析式，列表描点即可用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图象；（2）由题意求出角的值，再求周长的最大值【详解】解：（1）列表，描点如图所示：0010100（2）当时，取得最大值，此时， .由余弦定理可知：，又，.由基本不等式.，当且仅当时取等号.当，即为正三角形时，周长的最大值为.【点睛】本题主要考查了五点法作函数的图象，解三角形的问题，属于基础题18.如图，是由矩形，和组成的一个平面图形，其中，将其沿折起使得重合，连接如图.（1）证明：平面平面；（2）若为线段中点，求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见
16、解析（2）【解析】【分析】（1）由翻折变换的性质，先证明平面，平面，又平面，所以平面平面（2）过作的垂线，连接，直线和平面所成的角为，中，得出结论【详解】解：（1）证明：由翻折变换的性质：，平面，平面，平面，平面，所以，又因为，平面，平面所以平面又因为平面，所以平面平面（2）过作的垂线，垂足为，连接，有，平面，所以平面，因为平面所以，直线和平面所成的角为，由为的中点，所以为的中点，所以，又，在中，中，故直线与平面所成角的正切值为【点睛】本题考查线面垂直判定和性质，面面垂直的判定；线面所成的角，属于中档题19.2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机
17、，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段频率0.10.320.280.220.050.03购物人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物不使用网上购物总计（2）若从年龄在，的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：0.0250.0100.005000
18、13.8416.6357.87910.828参考公式：【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据统计表中的数据，计算出是否低于45岁人数，以及对应的是否网上购物人数，列出分布列，计算值，查表判断即可；（2）的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列计算期望即可【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 总计 使用网上购物 60 1575 不使用网上购物 10 15 25 总计 70 30 10
19、0于是有的观测值，故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关；（2）由题意可知，的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为：，于是的分布列为： 0 1 2 3 所有【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望考查了分析解决问题的能力，数据处理能力和计算能力，属于中档题20.已知抛物线过点，直线经过抛物线焦点与抛物线交于两点.（1）若直线的方程为，求的面积；（2）若直线的斜率为，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点代入求出值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角形的面积，（2）设直线方程为，根据韦达定理
20、和斜率公式，即可求出【详解】解：（1）将点代入抛物线方程，可得，则抛物线方程为.设，联立，可得.，则.又点到直线的距离为.（2）由题意知直线的斜率存在且不为，设直线方程为.，联立，可得，显然，从而.，.直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，属于中档题21.已知函数，其中为实数，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在三个不同的，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递增区间为与，单调递减区间为与（2）存在，【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结
21、合导数与单调性的关系即可求解，（2）结合（1）的讨论,对进行分类讨论，即可求解【详解】解：（1）.当，即时，.当时，；当时，.当，即时，.当时，；当时，.函数的单调递增区间为与，单调递减区间为与.（2）由（1）可知，函数在有两个极小值，存在一个极大值，另外.对于函数.假设存在满足题意的实数.当时，满足题意.当时，.由题意，解得.当时，.由题意，解得.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力，属于难题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.请考生用2B铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，曲线的方程为，直线
22、恒过定点，倾斜角为.（1）求曲线和直线的参数方程；（2）当时，若直线交椭圆于两点，求的值.【答案】（1）曲线的参数方程是（为参数），直线的参数方程是，（为参数）（2）【解析】【分析】（1）根据参数方程的求法即可求出，（2）求出直线的参数方程，代入到椭圆方程，参数的几何意义可得【详解】解：（1）曲线的参数方程是（为参数），直线的参数方程是，（为参数）.（2）当时，直线的参数方程为，（为参数），将其代入椭圆方程：化简得，由题意知恒成立，.由参数的几何意义得.【点睛】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题23.已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）不等式对恒成立（2）不等式，即分当时，；当时，；当时，即可【详解】解：（1）恒成立，即，由几何意义可知，可得或.（2）不等式为，即，时，不等式为，解得，所以；当时，不等式为，恒成立，所以；当时，不等式为，解得，所以；综上所述，当时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式、恒成立问题、不等式性质，属于中档题