1、第一章 导数及其应用 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 导数的几何意义【例 1】已知函数 f(x)x3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y14x3 垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线的方程为 y13(x2)(6)，即 y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201，直线
2、 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线 l 过点(0,0)，0(3x201)(x0)x30 x016.整理得，x308，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线 l 的方程为 ykx，切点为(x0，y0)，则 ky00 x00 x30 x016x0，又kf(x0)3x201，x30 x016x03x201.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线 yx43 垂直，切线的斜率 k4.设切点坐标为(x0
3、，y0)，则 f(x0)3x2014，x01.x01，y014 或x01，y018.即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18.即 y4x18 或 y4x14.1导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy0f(x0)(xx0)，明确“过点 P(x0，y0)的曲线 yf(x)的切线方程”与“在点 P(x0，y0)处的曲线 yf(x)的切线方程”的异同点2围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则 kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到跟进训练1直线 ykxb 与曲线
4、yx3ax1 相切于点(2,3)，则 b_.15 yx3ax1 过点(2,3)，a3，y3x23，ky|x23439，bykx39215.函数的单调性与导数【例 2】(1)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数 a，b，若 ab，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a)(2)设 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数，讨论函数 f(x)的单调性(1)A 令 F(x)f xx，则 F(x)xf xf xx2.又当 x0 时，xf(x)f(x)0，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减 又
5、ab，F(a)F(b)，f aa f bb，bf(a)af(b)，故选 A.(2)解 函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)ax2x12ax22a2xaxx12.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12x12xx12 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 当12a0 时，0.设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1a1 2a1a，x2a1 2a1a，由 x1
6、a1 2a1a a22a1 2a1a0，所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，函数 f(x)在0，a1 2a1a，a1 2a1a，上单调递减，在a1 2a1a，a1 2a1a上单调递增利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 f(x)与其导数 f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解求解参数范
7、围的步骤为：(1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f(x)；(2)若函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则 f(x)0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则 f(x)0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有 f(x)0.若 f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值跟进训练2若函数 f(x)13x312ax2(a1)x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数 a 的取值范围解 函数 f(x)的导数 f(x)x2axa1.令 f(x)0，解得 x1 或 xa1.当 a11，即
8、a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，不合题意 当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数 依题意当 x(1,4)时，f(x)0，当 x(6，)时，f(x)0.故 4a16，即 5a7.因此 a 的取值范围是5,7函数的极值、最值与导数 【例 3】已知函数 f(x)x3ax2b 的图象上一点 P(1,0)且在点 P 处的切线与直线 3xy0 平行(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因为 f(x)3x22ax，曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f(1)3
9、2a，即 32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以 a3，b2，f(x)x33x22.(2)由 f(x)x33x22，得 f(x)3x26x.由 f(x)0，得 x0 或 x2.当 0t2 时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以 f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当 2t3 时，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)t f(x)00 f(x)22t33t22 f(x)minf(2)2，f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个 f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，
10、所以 f(x)maxf(0)2.(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于 x 的方程 f(x)c 在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围解 令 g(x)f(x)cx33x22c，则 g(x)3x26x3x(x2)在 x1,2)上，g(x)0；在 x(2,3上，g(x)0.要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则g10，g20，g30，解得2c0.(1)求极值时一般需确定 f(x)0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作
11、判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟进训练3已知函数 f(x)sin xln(1x)，f(x)为 f(x)的导数证明：f(x)在区间1，2 存在唯一极大值点解 设 g(x)f(x)，则 g(x)cos x 11x，g(x)sin x11x2，当 x1，2 时，g(x)单调递减，而 g(0)0，g2 0；当 xa，2 时，g(x)0.所以 g(x)在(1，a)单调递增，在a，2 单调递减，故 g(x)在1，2 存在唯一极大值点，即 f(x)在1，2 存在唯一极大值点生活中的优化问题 【例 4】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体
12、，按照设计要求容器的体积为643 立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元(1)将 y 表示成 r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定 r 和 l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解 由题意可知 4r33 r2l643，l643r24r3.又圆柱的侧面积为 2rl1283r 8r23，两端两个半球的表面积之和为 4r2.所以 y1283r 8r2334r24128r8r2.又 l643r24r3 0r243，所以定义域为(0,243)(2)因为 y128r2
13、 16r16r38r2，所以令 y0，得 2r243；令 y0，得 0r2.所以当 r2 米时，该容器的建造费用最小，为 96 千元，此时l83米解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(3)验证数学问题的解是否满足实际意义跟进训练4现有一批货物由海上 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里/小时，A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与
14、轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得 y500 x(9600.6x2)480 000 x300 x，函数的定义域为(0,35，即 y480 000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知 y480 000 x300 x(0 x35)，所以 y480 000 x2300.令 y0，解得 x40 或 x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当 0 x35 时，y0，所以 y480 000 x30
15、0 x 在(0,35上单调递减，故当 x35 时，函数 y480 000 x300 x 取得最小值 故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35海里/小时的速度行驶函数方程思想 【例 5】设函数 f(x)x36x5，xR.(1)求 f(x)的极值点；(2)若关于 x 的方程 f(x)a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围；(3)已知当 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数 k 的取值范围解(1)f(x)3(x22)，令 f(x)0，得 x1 2，x2 2.当 x(，2)(2，)时，f(x)0，当 x(2，2)时，f(x)0，因此 x1 2，x2 2分别为 f(x)的极大值点、极小
16、值点(2)由(1)的分析可知 yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线 ya 与 yf(x)的图象有 3 个不同交点需 54 2f(2)af(2)54 2.则方程 f(x)a 有 3 个不同实根时，所求实数 a的取值范围为(54 2，54 2)(3)法一：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为 x1，所以 kx2x5 在(1，)上恒成立，令 g(x)x2x5，由二次函数的性质得 g(x)在(1，)上是增函数，所以 g(x)g(1)3，所以所求 k 的取值范围是为(，3 法二：直线 yk(x1)过定点(1,0)且 f(1)0，曲线 f(x)在点(1,0)处切线斜率 f(
17、1)3，由(2)中草图知要使 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需 k3.故实数 k 的取值范围为(，3讨论方程根的个数，研究函数图象与 x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解跟进训练5已知函数 f(x)ex 1xa，aR，试讨论函数 f(x)的零点个数解 函数 f(x)的定义域为x|xa(1)当 xa 时，ex0，xa0，f(x)0，即 f(x)在(a，)上无零点(2)当 xa 时，f(x)exxa1xa，令 g(x)ex(xa)1，则 g(x)ex(xa1)由 g(x)0 得 xa1.当 xa1 时，g(x)0；当 xa1 时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当 a1 时，g(a1)0，xa1 是 f(x)的唯一零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点Thank you for watching!