1、考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2012新课标全国高考文科12）数列an满足an+1(1)n an 2n1，则an的前60项和为（ ）（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.【解析】选D. ，.二、填空题2.（2012新课标全国高考理科T16）数列满足=2n-1，则前60项和为 【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.【解析】，.【答案】1830.3. （2012湖北高考文
2、科17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3， 6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：（）b2012是数列an中的第_项；（）b2k-1=_.（用k表示）【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法，解答本题可先根据数列an前项与后项的关系，求出数列an的通项，再结合数列bn与an的关系求出数列bn的通项解答本题.【解析】由图可知数列an满足:a1=1,an-an-1=n(n2).所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+n-1+2+
3、1=(n2),当n=1时,也符合上式,则an=.当n=4,5,9,10,14,15,19,20,时,构成数列bn的第1,2,3,4,项,则可以看出n=5,10,15,20,时,分别对应着bn的第2,4,6,8项.(1)b2012是数列an中的第5030项;(2)b2k-1=.【答案】(1)5030(2).4.（2012湖南高考文科16）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8= （2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 【解题指南】本题
4、考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.本题实际是描述的将一个十进制的数转化为二进制，然后找出规律.【解析】（1）观察知；一次类推；，b2+b4+b6+b8=；（2）由（1）知cm的最大值为.【答案】（1）3 （2）2.三、解答题5.（2012湖北高考文科20）（本小题满分13分）已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8.（1） 求等差数列an的通项公式；（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项和.【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公差,再代入求解.【解析】(1)设等
5、差数列an的公差为d,则，由题意知解得，故等差数列an的通项公式为：.（2）当时，a2,a3,a1分别为-1，-4，2不是等比数列，所以当n=1时，数列的和为：S1=4；当n=2时，数列的和为：S2=4+1=5；当n3时，Sn= =当n=2时,符合上式，所以6.（2012湖南高考文科20）（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（
6、）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.【解题指南】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.【解析】（）由题意得，=4500-d，.（）由（）得.整理得.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为时，经过年企业的剩余资金为万元.7.（2012江苏高考20）（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数
7、列，求和的值【解题指南】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比.从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.【解析】（1），。 . . 数列是以1 为公差的等差数列.（2），。.（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，当时，与（）矛盾.若则，当时，与（）矛盾.综上所述，。，.又，是公比是的等比数列.若，则，于是.又由即，得.中至少有两项相同，与矛盾. .8.（2012广东高考理科19）（本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。（1） 求a1的值；（2） 求数列的通项公式.（3） 证明：对一切正
8、整数n，有.【解题指南】(1)根据利用,可得到,令n=1，从而得到,再根据成等差数列得,三个方程联立可解出.(2)在（1）的基础上对的两边同除以得,再验证：也满足上式，因而对都成立，然后再利用叠加求和的方法确定,进而确定的通项公式.(3)解本题的关键是当时，然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可.【解析】（1）两式相减得,又成等差数列，即.(2)由（1）得时，两边同除以得又时，,也满足上式，时，.。(3)当n=1时，;当n=2时，.当时，9.（2012广东高考文科19）设数列前项和为，数列前项和为，满足，.(1)求的值；（2）求数列的通项公式.【解题指南】 (1)根据，利用,可建立关于的方程，即
9、可求出.(2)解本题的关键是,因为当n=1时，也满足上式，所以，然后转化为常规题型来做即可。【解析】（1）令n=1时，.(2) 因为当n=1时，也满足上式，所以当两式相减得所以所以因为,所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以所以.10.（2012安徽高考理科21）(本小题满分13分）数列满足：（I）证明： 是递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范围，使是递增数列.【解题指南】（1）要证明必要性和充分性；（2）由（I），然后分类讨论，根据作差法去讨论的值.【解析】（I）必要条件 当时，数列是单调递减数列 充分条件 数列是单调递减数列 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是. （II）
10、由（I）得： 当时，不合题意 当时， 当时，与同号，由 当时，存在，使与异号与数列是单调递减数列矛盾得：当时，数列是单调递增数列.11.（2012安徽高考文科21）(本小题满分13分）设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列的通项公式；（）设的前项和为，求。【解题指南】（1）根据导数，的左侧导函数小于0，的右侧导函数大于0，求出极小值点；（2）由（I）求出的前项和为，再代入.【解析】（I） 得：当时，取极小值 得： （II）由（I）得： 当时， 当时， 当时，所以12.（2012浙江高考文科19）（本题满分14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN，数列
11、bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.【解题指南】由前n项和Sn可求出通项公式，而数列anbn的通项符合等差与等比数列乘积的形式,故可用错位相减法求出.【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得当时，当时，符合上式，所以由an=4log2bn3可得=4log2bn3，解得.（2） -可得.13.（2012山东高考理科20）在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.【解题指南】（1）可利用等差数列的性质求解，再利用求出公差d，利用求出通项公式；（2）利用数列的中落入区间内的项的个数.可求
12、得数列为两个等比数列.【解析】(1) 由得，所以.(2) 对任意，将数列中落入区间内的项的个数为，则，即，所以，于是，即.14. （2012山东高考文科20）已知等差数列的前5项和为105，且.()求数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.【解题指南】（1）可利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组求出首项和公差；进而求得通项公式.（2）利用数列的中不大于内的项的个数.可求得数列为等比数列.利用等比数列的前n项公式求得.【解析】(I)由已知得：解得,所以通项公式为.(II)对，若，则，因此.，是公比为49的等比数列，.15. （2012江西高考理科16
13、）已知数列an的前n项和（其中）,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn.【解题指南】（1）先求得的值，再利用求，注意验证首项；（2）用错位相减法求和.【解析】（1）当时，取最大值，即，故，因此，从而.又，所以.（2）因为，所以16.（2012江西高考文科17）已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3.（1）求an；（2）求数列nan的前n项和Tn。【解题指南】（1）利用求，注意验证首项；（2）用错位相减法求和.【解析】(1)当时，则，c=2.a2=4，即，解得k=2，（n）1）当n=1时，综上所述.(2) ，则（1）-（2）得.- 14 -