1、第 6 节 空间向量及其运算考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示；4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向
2、量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在实数，使得 ba.推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP OA ta 其中 a 叫直线 l 的方向向量，tR，在 l 上取ABa，则可化为OP OA tAB或OP(1t)OA tOB.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP xMA yMB 或对空间任意一点 O，有OP OM xMA yMB 或OP xOM yOA zOB，其中 xyz1.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3，使得
3、 a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b2，则称 a 与 b互相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其
4、应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b235.空间两点间的距离公式空 间 中 点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之 间 的 距 离|P1P2|（x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2.常用结论与易错提醒1.ab0a0 或 b0 或a，b2.2.ab0 不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为 0.
5、诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面.()(2)对任意两个空间向量 a，b，若 ab0，则 ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.()(4)若 ab0，则a，b是钝角.()解析 对于(2)，因为 0 与任何向量数量积为 0，所以(2)不正确；对于(3)，若 a，b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线 AB 与
6、 CD 的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直解析 由题意得AB(3，3，3)，CD(1，1，1)，AB3CD，AB与CD共线，又 AB 与 CD 没有公共点.ABCD.答案 B3.(选修 21P97A2 改编)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1与 B1D1 的交点.若ABa，AD b，AA1c，则下列向量中与BM 相等的向量是()A.12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD.12a12bc解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1B1M AA112(AD AB)c12(ba)12a12bc.答案 A4.(2017上
7、海卷)如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1 的坐标为(4，3，2)，则AC1 的坐标为_.解析 A(4，0，0)，C1(0，3，2)，AC1(4，3，2).答案(4，3，2)5.已知 O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 34OA 18OB tOC，若P，A，B，C 四点共面，则实数 t_.解析 P，A，B，C 四点共面，3418t1，t18.答案 186.已知 i，j，k 为两两垂直的单位向量，非零向量 aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，若向量 a 与向量 i，j，k 的夹
8、角分别为，则 cos2cos2cos2_.解析 设 i，j，k 为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量 aa1ia2ja3k(a1，a2，a3R)，故 a 可为长方体体对角线的方向向量，则 xEA，yEA，zEA，所以 cos cosxEAcosCAEACAE，cos cosyEAcosDAEADAE，cos coszEAcosEABABAE，cos2cos2cos2AB2AC2AD2AE2AE2AE21.答案 1考点一 空间向量的线性运算【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C
9、1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)MP NC1.解(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1ac12ABac12b.(2)因为 M 是 AA1 的中点，所以MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，所以MP NC1 12a12bc a12c32a12b32c.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转
10、化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒 空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算.【训练 1】如图，三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM，则NM()A.12(abc)B.12(abc)C.12(abc)D.12(abc)解析 NM NAAM(OA ON)12ABOA 12OC 12(OB OA)12OA 12OB 12OC12(abc).答案 B考点二 共线定理、
11、共面定理的应用【例 2】已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM13(OA OB OC).(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.解(1)由题意知OA OB OC 3OM，所以OA OM(OM OB)(OM OC)，即MA BM CM MB MC，所以MA，MB，MC 共面.(2)由(1)知MA，MB，MC 共面且过同一点 M，所以 M，A，B，C 四点共面.从而点 M 在平面 ABC 内.规律方法(1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法PAPB(R)；对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1).(
12、2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法MP xMA yMB；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；PM AB(或PAMB 或PBAM).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练 2】(1)若 A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则 mn_.(2)已知空间四点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则 t 的值为_.解析(1)AB(3，1，1)，AC(m1，n2，2).A，B，C 三点共线，ABAC，m13n21 21，m7，n4，
13、mn3.(2)AB(1，1，0)，AC(1，0，2)，AD(3，2，t2)，A，B，C，D 四点共面，AB，AC，AD 共面.设AD xAByAC，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，则xy3，x2，2yt2，解得x2，y1，t0.t 的值为 0.答案(1)3(2)0考点三 空间向量数量积及其应用【例 3】如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 AC1 的长；(2)求BD1 与AC夹角的余弦值.解(1)记ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以 abbcca12.|AC1|2(
14、abc)2a2b2c22(abbcca)11121212126，所以|AC1|6，即 AC1 的长为 6.(2)BD1 bca，ACab，所以|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1，所以 cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66.即BD1 与AC夹角的余弦值为 66.规律方法 利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|a2；(3)cosa，b ab|a|b|.【训练 3】正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，MN
15、是其内切球 O 的一条直径，E 是正方体表面上一点，求EM EN的最大值.解 由极化恒等式的三角形形式得EM EN14(2EO)2MN 2.又因为 MN 是其内切球 O 的一条直径，E 是正方体表面上的动点，所以|MN|2，|EO|3，所以EM EN14(2EO)242，所以EM EN的最大值为 2.基础巩固题组一、选择题1.已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于()A.32B.2C.0 D.32或2解析 ab，2m123mm1m，解得 m2.答案 B2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sin
16、CM，D1N 的值为()A.19B.4 59C.2 59D.23解析 如图，设正方体棱长为 2，则易得CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)，cosCM，D1N CM D1N|CM|D1N|19，又CM，D1N 0，sinCM，D1N 11924 59.答案 B3.已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是()A.1 B.43C.53D.75解析 由题意得 kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得 k75.答案 D4.已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等，E 是 BC
17、的中点，那么()A.AEBCAECDB.AEBCAECDC.AEBCAECDD.AEBC与AECD 的大小不能比较解析 取 BD 的中点 F，连接 EF，则 EF 綉12CD，因为AE，EFAE，CD 90，因为AEBC0，AECD 0，所以AEBCAECD.答案 C5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34 a2解析 如图，设ABa，ACb，AD c，则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60.AE12(ab)，AF12c，AEAF12(ab)12c14(a
18、cbc)14(a2cos 60a2cos 60)14a2.答案 C6.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面 DCC1D1；A1M平面 D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析 A1M A1A AM A1A 12AB，D1P D1D DP A1A 12AB，A1M D1P，所以 A1MD1P，又 D1P平面 DCC1D1，D1P平面 D1PQB1，A1M平面 DCC1D1，A1M平面 D1PQB1，由线面平行的判定定理可知，A
19、1M平面 DCC1D1，A1M平面 D1PQB1.正确.答案 C二、填空题7.已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则 b，c 的夹角为_.解析 由题意得(2ab)c0102010.即 2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c bc|b|c|1812 14412，0b，c180，b，c120.答案 1208.已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，a 与 b 夹角的余弦值为_；若 a(ab)，则 _.解析 a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b ab|a|b|22314 6 216；由题意 a(ab)0，即 a2ab0，又 a214，ab7，1
20、470，2.答案 216 29.已知AB(1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且BP平面 ABC，则 x_，y_，z_.解析 由条件得352z0，x15y60，3（x1）y3z0，解得 x407，y157，z4.答案 407 157 410.设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同的点，则使51k 0 成立的点M 的个数有_.解析 设 M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5).则MAk(xka，ykb，zkc)，由51k MAk 0 得x1x2x3x4x55a0，y1y2y3y4y55b0，z1z2z3z4z55c0
21、，a15（x1x2x3x4x5），b15（y1y2y3y4y5），c15（z1z2z3z4z5），存在唯一点 M.答案 1三、解答题11.如图，已知平行六面体 ABCDABCD.试用AC表示ACABAD.解 平行六面体的六个面均为平行四边形，在ABCD 中，ACABAD，在ABBA中，ABABAA，在ADDA中，AD AD AA，ACABAD(ABAD)(ABAA)(AD AA)2(ABAD AA).又在ABCD 中，AD BC，在ACCA中，AACC，ABAD AAABBCCC AC，ACABAD 2AC.12.已知空间中三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB
22、，bAC.(1)若|c|3，且 cBC，求向量 c.(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值.解(1)cBC，BC(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmBCm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|（2m）2（m）2（2m）23|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|121202 2，|b|（1）20222 5，cosa，b ab|a|b|110 1010，即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 1010.能力提升题组13.在空间四边形 ABCD 中，ABCD ACDB AD BC(
23、)A.1 B.0 C.1 D.不确定解析 如图，令ABa，ACb，AD c，则ABCD ACDB AD BCa(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案 B14.若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标是()A.(4，0，3)B.(3，1，3)C.(1，2，3)D.(2，1，3)解析 设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z).则px(ab)y(
24、ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得xy4，xy2，z3，x3，y1，z3，即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案 B15.已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA(1，2，3)，OB(2，1，2)，OP(1，1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标是_.解析 点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)，则QA(1，2，32)，QB(2，1，22)，QA QB(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610643223.即当 43时，QA QB 取得最小值23.
25、此时OQ 43，43，83.答案 43，43，8316.已知空间向量PA，PB，PC的模长分别为 1，2，3，且两两夹角均为 60.点 G 为ABC 的重心，若PG xPAyPBzPC，x，y，zR，则 xyz_.|PG|_.解析 因为 A，B，C，G 四点共面，所以 xyz1，则 z1xy，PG PAAG PA13(ABAC)PA13(PBPA)(PC PA)13PA13PB13PC13(PAPBPC)，xyz13，|PG|13PAPBPC）213|PA|2|PB|2+|PC|2+2PAPB+2PAPC+2PBPC 53.答案 1 5317.如图，在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1
26、C1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBFx，其中 0 xa，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.(1)写出点 E，F 的坐标；(2)求证：A1F C1E；(3)若 A1，E，F，C1 四点共面，求证：A1F 12A1C1 A1E.(1)解 E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明 A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，A1F(x，a，a)，C1E(a，xa，a)，A1F C1E axa(xa)a20，A1F C1E.(3)证明 A1，E，F，C1 四点共面，A1E，A1C1，A1F 共面.选A1E 与A1C1 为在平面 A1C1E 上的一组基向量，则存在
27、唯一实数对(1，2)，使A1F1A1C1 2A1E，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，xa1，aa1x2，aa2，解得 112，21.于是A1F 12A1C1 A1E.18.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA；(2)EG 的长；(3)AG 与CE所成角的余弦值.解 设ABa，ACb，AD c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)EF12BD 12c12a，BAa，EFBA12c12a(a)12a212ac14，(2)EG EBBCCG 12aba12c12b12a12b12c，|EG|214a214b214c212ab12bc12ca12，则|EG|22.(3)AG 12b12c，CECAAEb12a，cosAG，CE AG CE|AG|CE|23.