1、第3节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是
2、异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.常用结论与易错提醒1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角
3、形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必
4、修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C3.在下列命题中，不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证
5、出来的.答案A4.已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.答案A5.若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_.答案b与相交或b或b6.如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a与c的位置关系是_；b与c的位置关系是_.答案acbc考点一
6、平面的基本性质及应用【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F四点共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点.规律方法(1)证明线共面或点共面的常用方法直接法，证明直线平行或相交，
7、从而证明线共面.纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.(2)证明点共线问题的常用方法基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綉AD.
8、又BC綉AD，GH綉BC，四边形BCHG为平行四边形.(2)解BE綉AF，G为FA的中点，BE綉FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_
9、(填上所有正确答案的序号).解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接GM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所
10、以在图中GH与MN异面.答案(1)D(2)规律方法(1)异面直线的判定方法反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行(
11、2)已知a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为()A. B. C. D.解析(1)如图，连接C1D，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，BD平面ABCD，CC1BD，MNCC1，故A正确；ACBD，MNBD，MNAC，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故选项D错误.(2)对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题.中，bM，ab，则aM或aM，为假命题.命题中，a与b相交、平行或异面，为假命题.
12、由线面垂直的性质，命题为真命题，所以，为真命题.答案(1)D(2)A考点三异面直线所成的角【例3】 (1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_.(2)已知平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.设AB1，则A1A，AB1，B1E，cosAB1E，故AB1E60.(2)根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角
13、转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.答案(1)60(2)A规律方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三
14、种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 (1)已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则_.(2)(一题多解)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦
15、值为()A. B.C. D.解析(1)由题知，tan .(2)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系. 图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在ABC中，ABC120，AB2，则A(1，0).所以(1，1)，(1，0，1)，则cos，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PNBC1，MNAB1，AB1与BC1所成的角是MNP或其补角.AB2，BCCC11，MNAB1，NPBC1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知PQM为直角三角形，且PQ1，MQAC，在ABC中，AC
16、2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，则MQ，则在MQP中，MP，在PMN中，cosPNM，又异面直线所成角范围为，故AB1与BC1所成角的余弦值为.答案(1)(2)C基础巩固题组一、选择题1.已知l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是
17、q的必要条件.故选A.答案A2.已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是()A. B. C. D.解析显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，错.命题中，两个平面重合或相交，错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题正确.答案B4.已知a，b，c是两两不同的三
18、条直线，下面四个命题中，真命题是()A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab，bc，则ac解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案C5.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析连接DF，则AEDF，D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正
19、方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案B6.(2020北京丰台区一模)矩形ABCD中，AB，BC1，将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为()A. B.C. D.解析根据题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，当BD时，ADDB，ADDC，且DBDCD，所以AD平面DBC，又BC平面DBC，故ADBC，直线AD与BC成的角为，所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为.答案C二、填空题7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则：(1)
20、直线BN与MB1是_直线(填“相交”或“平行”或“异面”)；(2)直线MN与AC所成的角的大小为_.解析(1)M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线；(2)连接D1C，因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.答案(1)异面(2)608.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CDEH，CDHF，且EHFHH，所以CD平面EFH，所以AB平面EFH，则平面EF
21、H与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.答案49.直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.解析如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.M，N分别是A1B1，A1C1的中点，MN綉B1C1.又BD綉B1C1，MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此NDBM，AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).设BC2，则BMND，AN，AD，在ADN中，由余弦定理得cosAND.故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.答案10.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，BCD90
22、，且BCCD3.将ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的长度为_；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值为_.解析由题意可得点A的射影M的轨迹为BCD的中位线，其长度为CD；当点M位于线段BD上时，AM平面BCD，取BC中点为N，AC中点为P，MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线定理可得MNCD，PNAB，又MP为RtAMC斜边AC的中线，故MPAC，在MNP中，由余弦定理可得cosMNP.答案三、解答题11.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中
23、点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.(2)直线D1B和CC1是异面直线.理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面
24、矛盾.所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线.12.如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.能力提升题组13.以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面
25、，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案B14.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也
26、不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.因此l1与l4的位置关系不能确定.答案D15.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为_.解析取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.GFH为异面直线AD与GF所成的
27、角(或其补角).可求得HF，GFGH，cosHFG.答案16.(2018上海卷改编)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为_；(2)设PO4，OA，OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，如图，则异面直线PM与OB所成的角的正切值为_.解析(1)易得圆锥的高为2，则V42.(2)取OA中点为N，即求PMN，MN1，PN，所成角大小的正切值为.答案(1)(2)17.如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN，CM所成的角的余弦值.解如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，
28、CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角(或其补角).ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.故异面直线AN，CM所成角的余弦值为.18.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.异面直线OC与MD所成角的正切值为.