1、第 3 讲 平面向量 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档 2考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现 热点一 平面向量的线性运算 1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化 2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量 例 1(1)(2017 届河南息县第一高级中学检
2、测)已知平行四边形 ABCD 的对角线分别为 AC，BD，且AE2EC，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则()A.FE 112AB 512AD B.FE 112AB 512AD C.FE 512AB 112AD D.FE 512AB 112AD 答案 C 解析 AE2EC，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，FO14DB，OE16AC，FEFOOE14DB16AC，ABADAC，ADABBD，FE14(ABAD)16(ABAD)512AB 112AD.故选 C.(2)(2017 届湖南师大附中月考)O 为ABC 内一点，且 2OAOBOC0，ADtAC，若 B，O，D 三点共线
3、，则 t 的值为()A.13 B.14C.12 D.23 答案 A 解析 由ADtAC，得ODOAt(OCOA)，所以ODtOC(1t)OA，因为 B，O，D 三点共线，所以BOOD，则 2OAOCtOC(1t)OA，故有 21t，1t，t13，故选 A.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 跟踪演练 1(1)(2017河北省衡水中学三调)在ABC 中，AN14NC，P 是直线 BN 上的一点，若APmAB25AC，则实数 m 的值为()A4 B1C1 D4 答案 B 解析 因为APAB
4、BPABkBN ABk15ACAB(1k)ABk5AC，且APmAB25AC，所以 1km，k525，解得 k2，m1，故选 B.(2)(2017 届福建连城县二中期中)已知平面向量 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b 等于()A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)答案 B 解析 因为 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，所以 m40，m4,2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)，故选 B.热点二 平面向量的数量积 1数量积的定义：ab|a|b|cos.2三个结论(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|
5、AB|x2x12y2y12.(3)若非零向量 a(x1，y1)，非零向量 b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.例 2(1)(2017 届湖北省部分重点中学联考)若等边ABC 的边长为 3，平面内一点 M 满足CM13CB12CA，则AMMB的值为()A2 B152 C.152 D.2 答案 A 解析 因为AMCMCA，MBCBCM，则AMMB13CB12CA23CB12CA，即AMMB29CB212CACB14CA2294942，故选 A.(2)(2017 届河北省衡水中学六调)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2
6、，ab(3，2)，则|a2b|等于()A2 2 B.17 C.15 D2 5 答案 B 解析 向量 a，b 满足|a|1，|b|2，ab(3，2)，可得|ab|25，即|a|2|b|22ab5，解得 ab0.|a2b|2|a|24|b|24ab11617，所以|a2b|17.故选 B.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 跟踪演练 2(1)(2017全国)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32 C
7、43 D1 答案 B 解析 方法一(解析法)建立平面直角坐标系如图所示，则 A，B，C 三点的坐标分别为 A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)图 设 P 点的坐标为(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2(x2y2 3y)2x2y 32234 234 32.当且仅当 x0，y 32 时，PA(PBPC)取得最小值，最小值为32.故选 B.方法二(几何法)如图所示，PBPC2PD(D 为 BC 的中点)，则PA(PBPC)2PAPD.图 要使PAPD最小，则PA与PD方向相反，即点 P 在线段 AD 上，则(2PAPD)
8、min2|PA|PD|，问题转化为求|PA|PD|的最大值 又|PA|PD|AD|2 32 3，|PA|PD|PA|PD|2232234，当且仅当|PA|PD|时取等号，PA(PBPC)min(2PAPD)min23432.故选 B.(2)(2017 届湖北重点中学联考)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为23，则|a2b|_.答案 2 解析 因为|a|2，|b|1，a，b23，故 ab2cosa，b1，则(a2b)2a24ab4b24444，即|a2b|2.热点三 平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与
9、三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件 例 3(2017江苏)已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为 x0，所以 x6 6，76，从
10、而1cosx6 32，于是，当 x6 6，即 x0 时，f(x)取得最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取得最小值2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 跟踪演练 3 已知平面向量 a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR
11、，函数 f(x)a(bc)(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若 f 2 22，求 sin 的值 解(1)因为 a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以 bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2x sin 2xcos 2x 2sin2x4.当 2k2 2x4 2k32，kZ，即 k38 xk78，kZ 时，函数 f(x)为减函数 所以函数 f(x)的单调递减区间是k38，k78，kZ.(2)由(1
12、)知，f(x)2sin2x4，又 f 2 22，则 2sin4 22，sin4 12.因为 sin24 cos24 1，所以 cos4 32.又 sin sin4 4 sin4 cos 4 cos4 sin 4，所以当 cos4 32 时，sin 12 22 32 22 2 64；当 cos4 32 时，sin 12 22 32 22 2 64.综上，sin 2 64.真题体验 1(2017北京改编)设 m，n 为非零向量，则“存在负数，使得 mn”是“mn0”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要 解析 方法一 由题意知|m|0，|n|0.设
13、m 与 n 的夹角为.若存在负数，使得 mn，则 m 与 n 反向共线，180，mn|m|n|cos|m|n|0.当 90180时，mn0，此时不存在负数，使得 mn.故“存在负数，使得 mn”是“mn0”的充分不必要条件 方法二 mn，mnnn|n|2.当 0，n0 时，mn0.反之，由 mn|m|n|cosm，n0，(mn)21mn14(mn)2，当且仅当 mn 时取等号，34(mn)21，则 mn2 33，即 mn 的最大值为2 33.10(2017 届陕西西安铁一中三模)已知向量 m(sin x，1)，向量 n3cos x，12，函数 f(x)(mn)m.(1)求 f(x)的单调递减区
14、间；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，a2 3，c4，且 f(A)恰是 f(x)在0，2 上的最大值，求 A，b 和ABC 的面积 S.解(1)f(x)(mn)m sin2x1 3sin xcos x12 1cos 2x21 32 sin 2x12 32 sin 2x12cos 2x2 sin2x6 2.由 2k2 2x6 2k32(kZ)，得 k3 xk56(kZ)所以 f(x)的单调递减区间为k3，k56(kZ)(2)由(1)知 f(A)sin2A6 2，当 x0，2 时，6 2x6 56，由正弦函数图象可知，当 2x6 2 时 f(x)取得最大值
15、 3.所以 2A6 2，A3.由余弦定理，a2b2c22bccos A，得 12b21624b12，所以 b2.所以 S12bcsin A1224sin 602 3.B 组 能力提高 11.(2017 届江西师大附中、临川一中联考)在 RtABC 中，BCA90，CACB1，P为 AB 边上的点，APAB，若CPABPAPB，则 的最大值是()A.2 22 B.2 22 C1 D.2 答案 C 解析 因为CPAPACABAC，PBABAPABAB，故由CPABPAPB，可得 212(1)，即 21222，也即 2212，解得 1 22 1 22，由于点 PAB，所以 1 22 1，故选 C.1
16、2(2017 届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，P10,记 miAB2APi(i1,2，10)，则 m1m2m10的值为()A15 3 B45C60 3 D180 答案 D 解析 因为 AB2与 B3C3 垂直，设垂足为 C，所以APi 在AB2 上的投影为 AC，miAB2 APi|AB2|AC|2 33 318，从而 m1m2m10的值为 1810180.故选 D.13.(2017 届江西上饶一模)已知在 RtAOB 中，AO1，BO2，如图，动点 P 是在以 O 点为圆心，OB 为半径的扇
17、形内运动(含边界)且BOC90.设OPxOAyOB，则 xy 的取值范围是_ 答案 2,1 解析 由已知图形可知OP，OA的夹角AOP90，180，所以 x0，OP，OB的夹角BOP0，90，所以 y0，由平行四边形法则可知，当点 P 沿着圆弧CB 由 C 到 B 移动时，负数 x 逐渐增大，正数 y 逐渐增大，所以当点 P 在 C 处时 xy 取得最小值，因为 OC2OA，OCOB，所以 x2，y0，所以 xy2，当点 P 在点 B 处时 xy 取得最大值，因为 OAOB，所以 x0，y1，所以 xy1，所以 xy 的取值范围为2,1 14(2017 届云南曲靖一中月考)已知向量 a(1,0)，b(cos，sin)，c(cos，sin)(1)求|ac|的最大值；(2)若 4，且向量 b 与向量(ac)垂直，求 cos 的值 解(1)ac(cos 1，sin)，|ac|cos 12sin2 22cos，当 cos 1 时，|ac|2，|ac|的最大值为 2.(2)若 4，则 b22，22，ac(cos 1，sin)，向量 b 与向量 ac 垂直，22(cos 1)22 sin 0，sin cos 1，故 sin2(1cos)212cos cos2，cos2cos 0，cos 0 或 1.当 cos 1 时，sin 0，ac(0,0)不符合条件，cos 0.